Четвороуглови – примери 2

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.5)   Површина ромба износи $16c{m^2}$, однос његових дијагонала је ${d_1}:{d_2} = 1:2$. Одреди обим ромба.

Пр.6)   Ако су странице паралелограма $a = 14cm$ и $b = 35cm$. Одредити површину овог  паралелеограма.

Пр.7)   Ако су основице трапеза 20cm и 5cm, а његови краци 13cm и 14cm, одреди површину овог трапеза.

Пр.5

$$\begin{aligned}&{d_2} = 2{d_1} \\ & \\ &P = \frac{{{d_1} \cdot {d_2}}}{2} \\ &P = \frac{{{d_1} \cdot 2{d_1}}}{2} \\ &16 = d_1^2 \\ &{d_1} = 4cm \\ & \\ &{d_2} = 8cm \\ & \\ &{a^2} = {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{d_2}}}{2}} \right)^2} \\ &{a^2} = 4 + 16 \\ &{a^2} = 20 \\ &a = 2\sqrt 5 cm \\ & \\ &O = 4a \\ &O = 8\sqrt 5 cm\end{aligned}$$

Пр.6

$$\begin{aligned}&P = ab\sin \alpha \\ & \\ &d_1^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \alpha \\ &2ab\cos \alpha = {a^2} + {b^2} - d_1^2 \\ &\cos \alpha = \frac{{{a^2} + {b^2} - d_1^2}}{{2ab}} \\ &\cos \alpha = \frac{a}{{2b}} \\ &\cos \alpha = \frac{{42}}{{70}} \\ &\cos \alpha = \frac{3}{5} \\ & \\ &{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha \\ &{\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} \\ &{\sin ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}} \\ &\sin \alpha = \frac{4}{5} \\ & \\ &P = 42 \cdot 35 \cdot \frac{4}{5} \\ &P = 294c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.7

$$\begin{aligned}&P = \frac{{a + b}}{2}h \\ & \\ &{h^2} = {c^2} - {x^2} \\ &{h^2} = {d^2} - {\left( {a - b - x} \right)^2} \\ & \\ &{c^2} - {x^2} = {d^2} - {\left( {a - b - x} \right)^2} \\ &169 - {x^2} = 196 - {\left( {15 - x} \right)^2} \\ &169 - {x^2} = 196 - {\left( {225 - 30x + x} \right)^2} \\ &30x = 198 \\ &x = \frac{{33}}{5} \\ & \\ &{h^2} = 169 - \frac{{1089}}{{25}} \\ &{h^2} = \frac{{3136}}{{25}} \\ &h = \frac{{56}}{5} \\ & \\ &P = \frac{{25}}{2} \cdot \frac{{56}}{5} = 140c{m^2}\end{aligned}$$