Призма примери 2

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3)   Израчунати дијагонале правог паралелопипеда основних ивица 5cm и 3cm, ако је једна дијагонала основе 4cm, а краћа дијагонала паралелопипеда нагнута према равни основе под углом од ${60^ \circ }$.

Пр.3)

Означимо основне ивице правог паралелопипеда са $a = 5cm,b = 3cm$, дијагоналу основе са ${d_2} = 4cm$, а краћа дијагонала паралелопипеда je ${D_2}$.

$\vartriangle BD{D_1}$ jе правоугли, онда

$$\begin{aligned}&\cos {60^ \circ } = \frac{{{d_2}}}{{{D_2}}} \\ &\frac{1}{2} = \frac{4}{{{D_2}}} \\ &{D_2} = 8cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&tg{60^ \circ } = \frac{H}{{{d_2}}} \\ &\sqrt 3 = \frac{H}{4} \\ &H = 4\sqrt 3 cm\end{aligned}$$

Затим дале желимо да израчунамо дужу диjагоналу ${d_1}$ паралелограма коj се налази у основи паралелопипеда.

Применом косиносноj теореме:

$${d_2}^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \alpha$$

Затим косиносну теорему примењимо и на троугао коj се налази испод дијагонале ${d_1}$

$${d_1}^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right)$$

$${d_1}^2 = {a^2} + {b^2} + 2ab\cos \alpha$$

$$\begin{aligned}&\left. \begin{aligned}&{d_1}^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \alpha \\ &{d_1}^2 = {a^2} + {b^2} + 2ab\cos \alpha\end{aligned} \right| + \\ &d_1^2 + d_2^2 = 2{a^2} + 2{b^2} \\ &d_1^2 + 16 = 2 \cdot 25 + 2 \cdot 9 \\ &d_1^2 = 50 + 18 - 16 \\ &d_1^2 = 52 \\ &{d_1} = 2\sqrt {13}\end{aligned}$$

Сада можемо израчунати дужу диjагоналу паралелопипеда ${D_1}$.

$$\begin{aligned}&D_1^2 = {H^2} + d_1^2 \\ &D_1^2 = 48 + 52 \\ &{D_1} = 10cm\end{aligned}$$