Пирамида – примери 1

Решени задаци. Површина и запремина правилне четворостране пирамиде.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Израчунати површину и запремину правилне четворостране пирамиде, ако је ивица основе 6cm, а висина износи $\frac{4}{5}h$ .

Пр.2) Бочна ивица правилне четворостране пирамиде дужине 4cm нагнута је према равни основе под углом од ${30^ \circ }$ . Израчунати површину и запремину ове пирамиде.

Пр.1)

Означимо ивицу основе са $a = 6cm$ , висину пирамиде са $H$ , а висину бочне стране са $h$ .

У правоуглом троуглу $\vartriangle ABC$

$\begin{aligned}&{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{h^2} = {\left( {\frac{4}{5}h} \right)^2} + 9 \\ &{h^2} = \frac{{16}}{{25}}{h^2} + 9 \\ &\frac{9}{{25}}{h^2} = 9 \\ &{h^2} = 25 \\ &h = 5cm\end{aligned}$

$H = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4cm$

$\begin{aligned}&P = B + M \\ &P = {a^2} + 4\frac{{ah}}{2} \\ &P = 36 + 2 \cdot 6 \cdot 5 \\ &P = 96c{m^2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&V = \frac{1}{3}BH \\ &V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 \\ &V = 48c{m^3}\end{aligned}$

Пр.2)

Означимо бочну ивицу пирамиде са $s = 4cm$ .

У правоуглом троуглу $\vartriangle OB{O_1}$

$\begin{aligned}&\sin {30^ \circ } = \frac{H}{s} \\ &\frac{1}{2} = \frac{H}{4} \\ &2H = 4 \\ &H = 2cm \\ &\cos {30^ \circ } = \frac{{\frac{d}{2}}}{4} \\ &\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\frac{d}{2}}}{4} \\ &d = 4\sqrt 3 cm\end{aligned}$

У основе пирамиде налазе се квадрат, онда

$\begin{aligned}&{d^2} = {a^2} + {a^2} \\ &{d^2} = 2{a^2} \\ &{\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} = 2{a^2} \\ &48 = 2{a^2} \\ &{a^2} = 24 \\ &a = 2\sqrt 6 cm\end{aligned}$

Можемо израчунати висину бочне стране $h$

$\begin{aligned}&{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{h^2} = 4 + {\left( {\sqrt 6 } \right)^2} \\ &{h^2} = 10 \\ &h = \sqrt {10} cm\end{aligned}$

Сад можемо израчунати површину и запремину ове пирамиде

$\begin{aligned}&P = B + M \\ &P = {a^2} + 4\frac{{ah}}{2} \\ &P = {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} + 4\sqrt {60} \\ &P = 24 + 8\sqrt {15} \\ &P = 8\left( {3 + \sqrt {15} } \right)c{m^2} \\ &V = \frac{1}{3}BH \\ &V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 \\ &V = 16c{m^3}\end{aligned}$

Задаци са правилном четвоространом пирамидом решавају се у два правоугла троугла. Први чине висина $H$ , половина ивице $\frac{a}{2}$ и апотема $h$ : $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ . Други чине $H$ , половина дијагонале $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt2}{2}$ и бочна ивица $s$ : $s^2 = H^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$ .

Нагиб бочне ивице према основи је угао између $s$ и $\frac{d}{2}$ , па је $H = s\sin\alpha$ и $\frac{d}{2} = s\cos\alpha$ . Кад је дат однос, на пример $H = \frac{4}{5}h$ , уврстите га у Питагорину теорему и добићете једначину са једном непознатом. На крају $P = a^2 + 2ah$ и $V = \frac{1}{3}a^2H$ . Пазите да нагиб ивице не мешате са нагибом бочне стране.

Основна ивица a6 m

Висина H7,35 m

Нагиб бочне ивице: 60°
Бочна ивица s: 8,49 m
Апотема h: 7,94 m
Омотач M: 95 m²

Нагиб бочне ивице је угао у троуглу са страницама

H

,

\frac{d}{2}

и

s

. За

a = 6

и

H = 7{,}35

нагиб је

60^\circ

, као на крову звоника.

Тесари и кровопокривачи из нагиба и дужине рогова рачунају висину крова и површину покривача, а исти троуглови се користе и при пројектовању торњева и звоника.

Кров звоника

Кров звоника је правилна четворострана пирамида над квадратом странице 6 m. Бочне ивице крова нагнуте су према хоризонталној равни под углом од $60^\circ$ . Колико је кров висок, колико су дуге бочне ивице и колико лима треба за покривање?

Решење

Подножје висине је центар квадрата, а до темена има $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt2}{2} = 3\sqrt2 \approx 4{,}24$ m.
Угао од $60^\circ$ је између бочне ивице $s$ и $\frac{d}{2}$ : $H = 3\sqrt2 \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 3\sqrt2 \cdot \sqrt3 = 3\sqrt6 \approx 7{,}35$ m и $s = \frac{3\sqrt2}{\cos 60^\circ} = 6\sqrt2 \approx 8{,}49$ m.
Апотема: $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 54 + 9 = 63$ , па је $h = 3\sqrt7 \approx 7{,}94$ m.
Лим покрива омотач: $M = 4 \cdot \frac{ah}{2} = 2 \cdot 6 \cdot 3\sqrt7 = 36\sqrt7 \approx 95{,}2$ m².

Одговор: Кров је висок око 7,35 m, бочне ивице су дуге око 8,49 m, а лима треба око 95,2 m².

Задатак за вежбу

Основна ивица правилне четворостране пирамиде је 12 cm, а висина пирамиде је $\frac{3}{5}$ апотеме. Израчунајте површину и запремину пирамиде.

Прикажи решење

$h^2 = \frac{9}{25}h^2 + 6^2$ , па је $\frac{16}{25}h^2 = 36$ , $h = 7{,}5$ cm и $H = 4{,}5$ cm. $P = 144 + 2 \cdot 12 \cdot 7{,}5 = 324$ cm², $V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 4{,}5 = 216$ cm³.