Зарубљена пирамида – примери 2

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Одреди површину и запремину правилне тростране зарубљене пирамиде чије су основне ивице 6cm и 2cm, а нагиб бочне стране према равни основе ${60^ \circ }$.

Пр.2)   Одреди површину и запремину правилне тростране зарубљене пирамиде ако је обим круга уписаног у доњу основу ${O_{U{B_1}}} = 14\sqrt 3 \pi cm$, површина круга описаног око горње основе ${P_{O{B_2}}} = 108c{m^2}$, а нагиб бочне ивице према равни основе ${60^ \circ }$.

Пр.1)

$$\begin{aligned}&\frac{1}{3}{h_a} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{6\sqrt 3 }}{6} = \sqrt 3 \\ &\frac{1}{3}{h_b} = \frac{1}{3}\frac{{b\sqrt 3 }}{2} = \frac{{b\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{aligned}$$

Означимо са $x$ дужину једној катете зеленог троугла:

$$\begin{aligned}&x = \frac{1}{3}{h_a} - \frac{1}{3}{h_b} = \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \\ &\cos {60^ \circ } = \frac{x}{h} \\ &\frac{1}{2} = \frac{{\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}}{h} \\ &h = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}cm \\ &tg{60^ \circ } = \frac{H}{x} \\ &\sqrt 3 = \frac{H}{{\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}} \\ &H = \sqrt 3 \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = 2cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&P = {B_1} + {B_2} + M \\ &P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{a + b}}{2}h \\ &P = \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{6 + 2}}{2} \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \\ &P = 9\sqrt 3 + \sqrt 3 + 16\sqrt 3 \\ &P = 26\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}} + {B_2}} \right) \\ &V = \frac{2}{3}\left( {9\sqrt 3 + \sqrt {9\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 } + \sqrt 3 } \right) \\ &V = \frac{{26}}{3}\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.2)

$$\begin{aligned}&{O_{U{B_1}}} = 14\sqrt 3 \pi \\ &2{r_u}\pi = 14\sqrt 3 \pi \\ &{r_u} = 7\sqrt 3 cm \\ &{r_u} = \frac{1}{3}{h_a} \\ &\frac{1}{3}{h_a} = 7\sqrt 3 \\ &{h_a} = 21\sqrt 3 cm \\ & \\ &{h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 21\sqrt 3 \\ &a = 42cm \\ & \\ &{P_{O{B_2}}} = 108\pi \\ &r_o^2\pi = 108\pi \\ &{r_o} = 6\sqrt 3 \\ & \\ &{r_o} = \frac{2}{3}{h_b} \\ &\frac{2}{3}{h_b} = 6\sqrt 3 \\ &{h_b} = 9\sqrt 3 cm \\ &{h_b} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} \\ &\frac{{b\sqrt 3 }}{2} = 9\sqrt 3 \\ &b = 18cm\end{aligned}$$

У жутом троуглу:

$$\begin{aligned}&tg{60^ \circ } = \frac{H}{{\frac{2}{3}{h_a} - \frac{2}{3}{h_b}}} \\ &tg{60^ \circ } = \frac{H}{{8\sqrt 3 }} \\ &\sqrt 3 = \frac{4}{{8\sqrt 3 }} \\ &H = 24cm\end{aligned}$$

У зеленом троуглу:

$$\begin{aligned}&{h^2} = {H^2} + \left( {\frac{1}{3}{h_a} - \frac{1}{3}{h_b}} \right) \\ &{h^2} = {24^2} + {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} \\ &{h^2} = 576 + 48 \\ &{h^2} = 626 \\ &h = 4\sqrt {39} cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&P = {B_1} + {B_2} + M \\ &P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{a + b}}{2}h \\ &P = \frac{{1764\sqrt 3 }}{4} + \frac{{324\sqrt 3 }}{4} + 3 \cdot 30 \cdot 4\sqrt {39} \\ &P = 441\sqrt 3 + 81\sqrt 3 + 360\sqrt {39} \\ &P = 522\sqrt 3 + 360\sqrt {39} c{m^2} \\ & \\ &V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}} + {B_2}} \right) \\ &V = 8\left( {441\sqrt 3 + 189\sqrt 3 + 81\sqrt 3 } \right) \\ &V = 5688\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$