Призма примери 5

Решени задаци, правилна четворострана и шестострана призма.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.8) Израчунати површину и запремину правилне четворостране призме чија дијагонала $D$ заклапа са равни бочне стране угао $\alpha$ .

Пр.9) Израчунати површину и запремину правилне шестостране призме чија дужа дијагонала $D$ заклапа угао од ${30^ \circ }$ са бочном ивицом призме.

Пр.8)

218

$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &P = 2{a^2} + 4aH\end{aligned}$

Потребно израчунати страницу $a$ и висину $H$ призме.

У правоуглом троуглу $\vartriangle B{C_1}{D_1}$

$\begin{aligned}&\sin \alpha = \frac{a}{D} \\ &a = D\sin \alpha \\ &\cos \alpha = \frac{{{d_n}}}{D} \\ &{d_n} = D\cos \alpha\end{aligned}$

У правоуглом троуглу $\vartriangle BC{C_1}$

$\begin{aligned}&{H^2} = {d_n}^2 - {a^2} \\ &{H^2} = {\left( {D\cos \alpha } \right)^2} - {\left( {D\sin \alpha } \right)^2} \\ &{H^2} = {D^2}\left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right) \\ &{H^2} = {D^2}\cos 2\alpha \\ &H = D\sqrt {\cos 2\alpha } \\ &P = 2{D^2}{\sin ^2}\alpha + 4D\sin \alpha D\sqrt {\cos 2\alpha } \\ &P = 2{D^2}{\sin ^2}\alpha + 4{D^2}\sin \alpha \sqrt {\cos 2\alpha } \\ &P = 2{D^2}\sin \alpha \left( {\sin \alpha + 2\sqrt {\cos 2\alpha } } \right) \\ &V = BH \\ &V = {a^2}H \\ &V = {D^2}{\sin ^2}\alpha \cdot D\sqrt {\cos 2\alpha } \\ &V = {D^3}{\sin ^2}\alpha \cdot \sqrt {\cos 2\alpha }\end{aligned}$

Пр.9)

219

$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &P = 2 \cdot 6\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 6aH \\ &P = 3 \cdot {a^2}\sqrt 3 + 6aH\end{aligned}$

Потребно изразити страницу $a$ и висину $H$ призме преко дијагоналу $D$ и угао $\varphi = {30^ \circ }$

У правоуглом троуглу $\vartriangle A{D_1}{A_1}$

$\begin{aligned}&\cos {30^ \circ } = \frac{H}{D} \\ &2H = D\sqrt 3 \\ &H = \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \\ &\sin {30^ \circ } = \frac{{2a}}{D} \\ &\frac{1}{2} = \frac{{2a}}{D} \\ &a = \frac{D}{4}\end{aligned}$

Сад можемо израчунати површину и запремину призме.

$\begin{aligned}&P = 3\frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 + 6\frac{D}{4} \cdot \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \\ &P = \frac{{3{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 + 6 \cdot \frac{{{D^2}}}{8}\sqrt 3 \\ &P = \frac{{3{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 + 12 \cdot \frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \\ &P = \frac{{15{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \\ &V = BH \\ &V = 6\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}H \\ &V = 3\frac{{\frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \frac{{D\sqrt 3 }}{2}}}{2} \\ &V = 3\frac{{3{D^3}}}{{32 \cdot 2}} \\ &V = \frac{{9{D^3}}}{{64}}\end{aligned}$

Кад је призма задата дијагоналом и углом, све елементе изражавате преко њих из правоуглих троуглова. Код правилне четворостране призме дијагонала $D$ са равни бочне стране заклапа угао $\alpha$ , а наспрам тог угла лежи ивица $a$ : $a = D\sin\alpha$ , дијагонала бочне стране је $D\cos\alpha$ , па је $H = \sqrt{D^2\cos^2\alpha - D^2\sin^2\alpha} = D\sqrt{\cos 2\alpha}$ .

Код правилне шестостране призме дужа дијагонала основе је $2a$ . Дужа просторна дијагонала, бочна ивица и $2a$ граде правоугли троугао: ако $D$ са бочном ивицом заклапа угао $\varphi$ , онда је $H = D\cos\varphi$ и $2a = D\sin\varphi$ . Тек онда рачунате $P = 2B + M$ и $V = BH$ . Честа грешка је погрешно одредити која страница лежи наспрам датог угла.

Основна ивица a15 cm

Висина H52 cm

Дијагонала D: 60 cm
Угао φ: 30°
Површина P: 5849 cm²
Запремина V: 30.397 cm³

Мењајте ивицу и висину и пратите угао између дуже дијагонале и бочне ивице:

\operatorname{tg}\varphi = \frac{2a}{H}

. За

a = 15

cm и

H \approx 52

cm угао је

30^\circ

, а дијагонала 60 cm, као у примеру.

Овако раде пројектанти и дизајнери: предмет задају са неколико мера и углова, а остале димензије, количину материјала и запремину добијају рачуном, на пример у програмима за 3D моделовање.

Дизајнерска лампа

Дизајнер прави стаклену лампу облика правилне шестостране призме. Кроз њу жели да провуче светлећу LED шипку дугачку 60 cm од темена доње основе до супротног темена горње основе, дакле по дужој просторној дијагонали, тако да шипка са бочном ивицом заклапа угао од $30^\circ$ . Колике ће бити основна ивица и висина лампе, колико стакла треба за њу и колика јој је запремина?

Решење

Дијагонала $D = 60$ cm, бочна ивица $H$ и дужа дијагонала основе $2a$ граде правоугли троугао: $H = D\cos 30^\circ = 30\sqrt 3 \approx 51{,}96$ cm.
$2a = D\sin 30^\circ = 30$ cm, па је основна ивица $a = 15$ cm.
Основа: $B = \frac{3a^2\sqrt 3}{2} = \frac{675\sqrt 3}{2} \approx 584{,}57$ cm², а омотач $M = 6aH = 6 \cdot 15 \cdot 30\sqrt 3 = 2700\sqrt 3 \approx 4676{,}54$ cm².
$P = 2B + M = 675\sqrt 3 + 2700\sqrt 3 = 3375\sqrt 3 \approx 5845{,}67$ cm², а $V = BH = \frac{675\sqrt 3}{2} \cdot 30\sqrt 3 = 30\,375$ cm³.

Одговор: Лампа има основну ивицу 15 cm и висину око 51,96 cm, за њу треба око 5846 cm², односно око 0,58 m² стакла, а запремина јој је 30.375 cm³, око 30,4 l.

Задатак за вежбу

Дијагонала правилне четворостране призме је 10 cm и са равни бочне стране заклапа угао од $30^\circ$ . Израчунајте површину и запремину призме.

Прикажи решење

$a = 10\sin 30^\circ = 5$ cm и $H = 10\sqrt{\cos 60^\circ} = 5\sqrt 2$ cm. $P = 2 \cdot 25 + 4 \cdot 5 \cdot 5\sqrt 2 = 50 + 100\sqrt 2 \approx 191{,}42$ cm², $V = 25 \cdot 5\sqrt 2 = 125\sqrt 2 \approx 176{,}78$ cm³.