Пирамида 2

Површина и запремина пирамиде. Правилна четворострана пирамида и правилна шестострана пирамида,формуле.

За сваку пирамиду важи $P = B + M$ и $V = \frac{1}{3}BH$ , а разликују се само основа и растојања од центра. Правилна четворострана пирамида има квадрат у основи: $B = a^2$ и $M = 4 \cdot \frac{ah}{2} = 2ah$ . Подножје висине је пресек дијагонала, па је растојање до ивице $\frac{a}{2}$ , а до темена $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt2}{2}$ . Одатле $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ и $s^2 = H^2 + \frac{a^2}{2}$ .

Код правилне шестостране пирамиде основу чини шест једнакостраничних троуглова: $B = \frac{3a^2\sqrt3}{2}$ и $M = 3ah$ . Центар је од темена удаљен тачно $a$ , а од ивице $\frac{a\sqrt3}{2}$ , па је $s^2 = H^2 + a^2$ и $h^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4}$ . Честа грешка код шестоугла је да се узме $\frac{a}{2}$ уместо $\frac{a\sqrt3}{2}$ .

Страница пода a2,4 m

Висина H1,6 m

Апотема h: 2 m
Бочна ивица s: 2,33 m
Омотач M: 9,6 m²
Запремина V: 3,07 m³

Почетне мере су мере шатора: апотема је тачно 2 m, а омотач 9,6 m². Бочна ивица

s

је увек дужа од апотеме

h

, јер иде до темена, а не до средине ивице.

Шатори, кровови кула и сеница и стаклени кровови над атријумима често су четворостране или шестостране пирамиде, па се по овим обрасцима рачунају тканина, лим или стакло и дужина носача.

Шатор у облику пирамиде

Шатор има облик правилне четворостране пирамиде: под је квадрат странице 2,4 m, а средишњи стуб је висок 1,6 m. Колико тканине треба за под и четири зида, колико ваздуха има у шатору и колико је дуга свака од четири шипке дуж бочних ивица?

Решење

Апотема зида: $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 1{,}6^2 + 1{,}2^2 = 2{,}56 + 1{,}44 = 4$ , па је $h = 2$ m.
Зидови: $M = 2ah = 2 \cdot 2{,}4 \cdot 2 = 9{,}6$ m², под: $B = 2{,}4^2 = 5{,}76$ m². Тканине укупно треба $9{,}6 + 5{,}76 = 15{,}36$ m².
Ваздух: $V = \frac{1}{3}BH = \frac{1}{3} \cdot 5{,}76 \cdot 1{,}6 = 3{,}072$ m³.
Шипка иде од темена пода до врха: $s^2 = H^2 + \frac{a^2}{2} = 2{,}56 + 2{,}88 = 5{,}44$ , па је $s \approx 2{,}33$ m.

Одговор: Треба 15,36 m² тканине, у шатору има око 3,07 m³ ваздуха, а свака шипка је дуга око 2,33 m.

Задатак за вежбу

Правилна шестострана пирамида има основну ивицу 4 cm и висину 6 cm. Израчунајте њену површину и запремину.

Прикажи решење

$h^2 = 6^2 + (2\sqrt3)^2 = 48$ , па је $h = 4\sqrt3$ cm. $B = \frac{3 \cdot 16\sqrt3}{2} = 24\sqrt3$ cm², $M = 3 \cdot 4 \cdot 4\sqrt3 = 48\sqrt3$ cm², $P = 72\sqrt3 \approx 124{,}7$ cm², $V = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt3 \cdot 6 = 48\sqrt3 \approx 83{,}1$ cm³.