Лопта и полиедри 2

Површина и запремина купе. Решени задаци

Лопта је уписана у полиедар кад додирује све његове стране. У праву призму лопта се може уписати ако и само ако се у основу може уписати круг чији је пречник једнак висини призме. Тада је $R = r_u$ и $H = 2R$ ; за троугао у основи $r_u = \frac{P_\Delta}{s}$ , где је $s$ полуобим.

Центар лопте уписане у правилну пирамиду лежи на висини. У пресеку кроз висину и апотему троугао од врха до центра лопте и додирне тачке сличан је троуглу са катетама $H$ и $r_u$ , па је $h : r_u = (H - R) : R$ , где је $h$ апотема, а $r_u = \frac{a}{2}$ за квадрат. За сваки полиедар са уписаном лоптом важи и $R = \frac{3V}{P}$ . Честа грешка је да се центар стави на средину висине пирамиде.

Основна ивица a16 cm

Висина H15 cm

Апотема h: 17 cm
R из сличности троуглова: 4,8 cm
Провера: 3V/P: 4,8 cm
Површина лопте: 289,5 cm²

За мере из задатка за вежбу апотема је 17 cm, а уписана лопта има

R = 4{,}8

cm. Сличност троуглова и образац

R = \frac{3V}{P}

увек дају исти полупречник, а центар лопте је увек испод средине висине, јер је

h > r_u

.

Кад кугла треба да стане у кутију или калуп облика призме или пирамиде тако да додирује све стране, њен полупречник је полупречник уписане лопте; тако стругар бира комад дрвета, а произвођач амбалаже кутију за лоптаст производ.

Кугла од дрвене коцке

Стругар од дрвене коцке ивице 10 cm прави највећу могућу куглу. Колики је полупречник кугле и колико дрвета оде у струготину?

Решење

Коцка је права призма чија основа, квадрат странице 10 cm, има уписани круг пречника 10 cm, једнаког висини. Зато се у коцку може уписати лопта: $R = r_u = \frac{a}{2} = 5$ cm.
Запремина кугле: $V_L = \frac{4}{3} \cdot 5^3\pi = \frac{500\pi}{3} \approx 523{,}6$ cm³.
Коцка има $10^3 = 1000$ cm³, па кугла чини $\frac{\pi}{6} \approx 52{,}4$ % дрвета.
У струготину оде $1000 - 523{,}6 \approx 476{,}4$ cm³, скоро половина коцке.

Одговор: Кугла има полупречник 5 cm, а у струготину оде око 476 cm³, односно око 47,6 % дрвета.

Задатак за вежбу

У правилну четворострану пирамиду основне ивице 16 cm и висине 15 cm уписана је лопта. Израчунајте полупречник и површину лопте.

Прикажи решење

Апотема: $h = \sqrt{15^2 + 8^2} = 17$ cm. Из $17 : 8 = (15 - R) : R$ следи $17R = 120 - 8R$ , па је $R = 4{,}8$ cm и $P = 4R^2\pi = 92{,}16\pi \approx 289{,}5$ cm².