Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 4

Једначина праве – решени задаци

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4) Одредити одсечке које права $5x - 3y + 4 = 0$ одсеца на $x$ и $y$ оси.

Пр.5) Дата је права $p:\left( {b + 2} \right)x + \left( {b - 3} \right)y + {b^2} - 2b + 1 = 0$

а) одреди параметар $b$ тако да права $p$ буде паралелна са $x$ осом

б) одреди параметар $b$ тако да права $p$ буде паралелна са $y$ осом

в) одреди параметар $b$ тако да права $p$ пролази кроз координатни

почетак.

Пр.6) У једначини праве $3x + my - 12 = 0$ одредити параметар $m$ тако

да одсечак праве између координатних оса буде једнак 5.

Пр.4)

$p:\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$

$m$ -одсечак на $x$ -оси, $n$ -одсечак на $y$ -оси.

$\begin{aligned}&5x - 3y + 4 = 0 \\ &5x - 3y = - 4\left| {:\left( { - 4} \right)} \right. \\ &- \frac{{5x}}{4} + \frac{{3y}}{4} = 1 \\ &\frac{x}{{ - \frac{4}{5}}} + \frac{y}{{\frac{4}{3}}} = 1 \\ &m = - \frac{4}{5};n = \frac{4}{3}\end{aligned}$

Пр.5)

Дата је права $p:\left( {b + 2} \right)x + \left( {b - 3} \right)y + {b^2} - 2b + 1 = 0$

а)

407 png

$\begin{aligned}&b + 2 = 0 \\ &b = - 2\end{aligned}$

б)

408 png

$\begin{aligned}&b - 3 = 0 \\ &b = 3\end{aligned}$

в)

409 png

$\begin{aligned}&\left( {b - 3} \right)y = - \left( {b + 2} \right)x - {b^2} + 2b - 1 \\ &y = - \frac{{\left( {b + 2} \right)}}{{\left( {b - 3} \right)}} \cdot x + \frac{{ - {b^2} + 2b - 1}}{{\left( {b - 3} \right)}} \\ &n = 0 \\ &\frac{{ - {b^2} + 2b - 1}}{{\left( {b - 3} \right)}} = 0 \\ &- {b^2} + 2b - 1 = 0 \\ &- {\left( {b - 1} \right)^2} = 0 \\ &b - 1 = 0 \\ &b = 1\end{aligned}$

Пр.6)

410 png

$\begin{aligned}&3x + my = 12\left| {:12} \right. \\ &\frac{{3x}}{{12}} + \frac{{my}}{{12}} = 1 \\ &\frac{x}{4} + \frac{y}{{\frac{{12}}{m}}} = 1 \\ & \\ &{4^2} + {\left( {\frac{{12}}{m}} \right)^2} = {5^2} \\ &\frac{{144}}{{{m^2}}} = 25 - 16 \\ &9{m^2} = 144 \\ &{m^2} = \frac{{144}}{9} \\ &m = \pm \frac{{12}}{3} \\ &m = \pm 4\end{aligned}$

Одсечке праве на осама најлакше читате из сегментног облика $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ : права сече осу $x$ у тачки $(m, 0)$ , а осу $y$ у тачки $(0, n)$ . Из општег облика $Ax + By + C = 0$ у сегментни прелазите тако што $C$ пребаците на десну страну и поделите са $-C$ ; на пример, $5x - 3y + 4 = 0$ даје $m = -\frac{4}{5}$ и $n = \frac{4}{3}$ .

Права $Ax + By + C = 0$ паралелна је оси $x$ кад је $A = 0$ , оси $y$ кад је $B = 0$ , а пролази кроз координатни почетак кад је $C = 0$ ; тако се одређују параметри. Одсечак праве између оса је хипотенуза правоуглог троугла, дужине $\sqrt{m^2 + n^2}$ . Пазите да при дељењу не изгубите знак слободног члана.

Подножје од зида m7 dm

Одсечак m на оси x: 7 dm
Одсечак n на оси y: 24 dm
Размак изнад ормарића: 1,71 dm

Мердевине од 25 dm су одсечак праве између оса, па је увек

m^2 + n^2 = 625

. Кад је подножје преблизу зиду (до 5 dm), мердевине ударају у ормарић и размак је негативан; кад се подножје одмиче, размак прво расте, а после око 12 dm опада, јер мердевине постају све положеније.

Сегментни облик одмах даје једначину косе греде, подупирача или мердевина кад се зна где додирују под и зид, па се лако провери да ли пролазе изнад неке препреке.

Мердевине уз зид

Мердевине дугачке 25 dm ослоњене су о зид, а подножје им је 7 dm од зида. Нека је оса $x$ под, оса $y$ зид, а јединица 1 dm. Напишите једначину праве дуж мердевина у сегментном и општем облику и проверите да ли мердевине пролазе изнад ормарића дубине 3 dm и висине 12 dm, који стоји уз зид.

Решење

Мердевине су одсечак између оса, па је $m = 7$ , а $n = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$ .
Сегментни облик: $\frac{x}{7} + \frac{y}{24} = 1$ . Множењем са 168 добијамо општи облик $24x + 7y - 168 = 0$ .
Изнад предње ивице ормарића, за $x = 3$ : $7y = 168 - 72 = 96$ , па је $y = \frac{96}{7} \approx 13{,}7$ .
Пошто је $13{,}7 > 12$ , мердевине пролазе око 1,7 dm изнад ивице ормарића.

Одговор: Мердевине леже на правој $\frac{x}{7} + \frac{y}{24} = 1$ , тј. $24x + 7y - 168 = 0$ , и пролазе око 17 cm изнад ормарића.

Задатак за вежбу

Одредите одсечке које права $4x - 3y + 12 = 0$ одсеца на осама и дужину њеног одсечка између оса.

Прикажи решење

$4x - 3y = -12$ , па дељењем са $-12$ добијамо $\frac{x}{-3} + \frac{y}{4} = 1$ . Одсечци су $m = -3$ и $n = 4$ , а дужина одсечка између оса је $\sqrt{9 + 16} = 5$ .