Пирамида 1

Површина и запремина пирамиде. Правилна тространа пирамида, формуле.

Пирамида има основу (многоугао) и бочне стране, троуглове са заједничким врхом. Површина је $P = B + M$ , а запремина $V = \frac{1}{3}BH$ . Код правилне тростране пирамиде основа је једнакостранични троугао ивице $a$ , па је $B = \frac{a^2\sqrt3}{4}$ и $M = 3 \cdot \frac{ah}{2}$ , где је $h$ апотема, висина бочне стране. Подножје висине $H$ је центар основе: од ивице је удаљено $r = \frac{a\sqrt3}{6}$ , а од темена $R = \frac{a\sqrt3}{3}$ .

Све се своди на правоугле троуглове: $h^2 = H^2 + r^2$ , $s^2 = H^2 + R^2$ и $s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ , где је $s$ бочна ивица. Најчешће грешке су замена $H$ и $h$ и заборављена $\frac{1}{3}$ у запремини.

Основна ивица a6 cm

Висина H4,9 cm

Бочна ивица s: 6 cm
Апотема h: 5,2 cm
Површина P: 62,36 cm²
Запремина V: 25,46 cm³

За почетне мере,

a = 6

и

H = 4{,}9

, бочна ивица је око 6 cm, као код кесице чаја. Висина

H

, полупречник

R

и бочна ивица

s

граде правоугли троугао.

Пирамидалне кесице чаја, стаклени украси и кровови над троугаоним основама имају облик тростране пирамиде; по овим обрасцима се рачуна колико материјала треба и колико стаје унутра.

Пирамидална кесица чаја

Кесица чаја има облик правилне тростране пирамиде којој су све ивице, и основне и бочне, дугачке 6 cm. Колико филтер-папира треба за њене четири стране и колика је запремина кесице?

Решење

Основа је једнакостранични троугао: $B = \frac{a^2\sqrt3}{4} = \frac{36\sqrt3}{4} = 9\sqrt3 \approx 15{,}59$ cm².
Све четири стране су исти једнакостранични троуглови, па папира треба $P = 4B = 36\sqrt3 \approx 62{,}35$ cm².
Подножје висине је центар основе, удаљен од темена $R = \frac{a\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ cm. Бочна ивица $s = 6$ cm, $R$ и $H$ граде правоугли троугао: $H^2 = s^2 - R^2 = 36 - 12 = 24$ , па је $H = 2\sqrt6 \approx 4{,}90$ cm.
Запремина: $V = \frac{1}{3}BH = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt3 \cdot 2\sqrt6 = 6\sqrt{18} = 18\sqrt2 \approx 25{,}46$ cm³.

Одговор: За кесицу треба око 62,4 cm² папира, а њена запремина је око 25,5 cm³.

Задатак за вежбу

Основна ивица правилне тростране пирамиде је 6 cm, а бочна ивица 5 cm. Израчунајте апотему, висину, површину и запремину пирамиде.

Прикажи решење

$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ cm, $H = \sqrt{5^2 - (2\sqrt3)^2} = \sqrt{13}$ cm. $P = 9\sqrt3 + 3 \cdot \frac{6 \cdot 4}{2} = 9\sqrt3 + 36 \approx 51{,}59$ cm², $V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt3 \cdot \sqrt{13} = 3\sqrt{39} \approx 18{,}73$ cm³.