Мешовит производ вектора

Мешовит производ вектора, дефиниција и особине.

Мешовити производ три вектора је број $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}$ . У координатама је то детерминанта трећег реда чије су врсте координате вектора $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ , па се рачуна Сарусовим правилом или развојем по врсти. Његова апсолутна вредност је запремина паралелепипеда над тим векторима, $V = |[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}]|$ , а тространа пирамида над истим векторима има запремину $\frac{1}{6}|[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}]|$ .

Ако је $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = 0$ , вектори су компланарни. Знак показује оријентацију: за десни триедар производ је позитиван. Циклична замена не мења вредност, $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = [\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{a}]$ , а замена места два вектора мења знак. Честа грешка је да се изостави апсолутна вредност код запремине или $\frac{1}{6}$ код пирамиде.

Прва координата вектора c0,5

Трећа координата вектора c2

Мешовити производ [a, b, c]: 14
Запремина: 14 m³
Површина основе |a × b|: 7 m²

Прва координата вектора

\overrightarrow{c}

само накриви паралелепипед, а запремина остаје површина основе пута трећа координата. Кад је

c_3 = 0

, сва три вектора су у поду, компланарна, и мешовити производ је нула; кад је

c_3 < 0

, производ је негативан. На почетку је ослонац из примера.

Програми за 3D моделовање запремину тела рачунају као збир означених запремина малих тетраедара, а запремина сваког од њих је $\frac{1}{6}$ мешовитог производа вектора његових ивица. По знаку мешовитог производа исти програми одређују са које стране површи је спољашњост тела.

Кос бетонски ослонац

Ослонац рампе је кос паралелепипед од бетона. Из једног доњег темена ивице су му вектори $\overrightarrow{a} = (3;\ 1;\ 0)$ , $\overrightarrow{b} = (-1;\ 2;\ 0)$ и $\overrightarrow{c} = (0{,}5;\ 1;\ 2)$ , у метрима. Оса $z$ иде навише, па $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ леже у основи на тлу, а $\overrightarrow{c}$ је нагнута бочна ивица. Колико кубних метара бетона треба за ослонац?

Решење

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (1 \cdot 0 - 0 \cdot 2,\ 0 \cdot (-1) - 3 \cdot 0,\ 3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = (0;\ 0;\ 7)$ .
$[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 0 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 1 + 7 \cdot 2 = 14$ .
Исто даје Сарусово правило: $\begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0{,}5 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 12 + 0 + 0 - 0 - 0 - (-2) = 14$ .
Запремина је $V = |14| = 14$ m³. Основа има површину $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 7$ m², а висина је трећа координата вектора $\overrightarrow{c}$ , 2 m: нагиб ивице не мења запремину.

Одговор: За ослонац треба 14 m³ бетона.

Задатак за вежбу

Израчунајте запремину паралелепипеда над векторима $\overrightarrow{a} = (2, 1, 0)$ , $\overrightarrow{b} = (1, 3, 1)$ и $\overrightarrow{c} = (0, 1, 2)$ . Да ли ти вектори чине десни триедар?

Прикажи решење

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (1, -2, 5)$ , па је $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}] = 0 - 2 + 10 = 8$ . Запремина је 8, а пошто је производ позитиван, триедар је десни.