Аналитчка геометрија, вектори – примери 6

Копланарност вектора, разлагање вектора. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.2) Доказати да вектори $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ и $\overrightarrow c$ припадају истој равни, а затим вектор $\overrightarrow c$ разложити по правцима вектора $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ ако је: $\overrightarrow a = \left( { - 3,0,2} \right),\overrightarrow b = \left( {2,1, - 4} \right),\overrightarrow c = \left( {11, - 2, - 2} \right)$

Пр.3) Дати су вектори $\overrightarrow a = \left( {2,3} \right),\overrightarrow b = \left( {1, - 3} \right),\overrightarrow c = \left( { - 1,3} \right)$ . Одредити реални број $m$ тако да вектори $\overrightarrow p = \overrightarrow a + m\overrightarrow b$ и $\overrightarrow q = \overrightarrow a + 2\overrightarrow c$ буду колинеарни.

Пр.2)

${D_s} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 3}&0&2 \\ 2&1&{ - 4} \\ {11}&{ - 2}&{ - 2} \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 3} \\ 2 \\ {11} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0 \\ 1 \\ { - 2} \end{array} = 6 + 0 - 8 - 22 + 24 - 0 = 0$

$\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ - линеарно зависне.

$\begin{aligned}&\overrightarrow c = \alpha \overrightarrow a + \beta \overrightarrow b \\ &\left( {11; - 2; - 2} \right) = \alpha \left( { - 3;0;2} \right) + \beta \left( {2;1; - 4} \right) = \\ &= \left( { - 3\alpha ;0;2\alpha } \right) + \left( {2\beta ;\beta ; - 4\beta } \right) = \left( { - 3\alpha + 2\beta ;\beta ;2\alpha - 4\beta } \right) \\ & \\ &- 3\alpha + 2\beta = 11 \\ &\beta = - 2 \\ &\underline {2\alpha - 4\beta = - 2} \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&- 3\alpha - 4\beta = 11 \\ &- 3\alpha = 15 \\ &\alpha = - 5\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&2\alpha + 8 = - 2 \\ &2\alpha = - 10 \\ &\alpha = - 5\end{aligned} \end{array} \\ &\overrightarrow c = - 5\overrightarrow a - 2\overrightarrow b\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&\overrightarrow p = \overrightarrow a + m\overrightarrow b = \left( {2,3} \right) + m\left( {1, - 3} \right) = \left( {2,3} \right) + \left( {m, - 3m} \right) = \left( {2 + m,3 - 3m} \right) \\ &\overrightarrow q = \overrightarrow a + 2\overrightarrow c = \left( {2,3} \right) + 2\left( { - 1,3} \right) = \left( {2,3} \right) + \left( { - 2,6} \right) = \left( {0,9} \right)\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{D_s} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {2 + m}&{3 - 3m} \\ 0&9 \end{array}} \right| = 0 \\ &\left( {2 + m} \right) \cdot 9 - 0 = 0 \\ &2 + m = 0 \\ &m = - 2\end{aligned}$

Три вектора у простору су компланарна, тј. леже у истој равни, ако и само ако је детерминанта њихових координата нула: $\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = 0$ . Тада су линеарно зависни, па ако $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ нису колинеарни, $\overrightarrow{c}$ се разлаже као $\overrightarrow{c} = \alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b}$ . Распишите то по координатама: добијате три једначине са две непознате; две решите, а трећом проверите.

Два вектора у равни су колинеарна ако је $\begin{vmatrix} p_x & p_y \\ q_x & q_y \end{vmatrix} = 0$ , па се параметар $m$ добија из једначине $p_xq_y - p_yq_x = 0$ . Честа грешка је да се трећа једначина не провери.

Параметар m0,5

Детерминанта 3 + 2m: 4

Ово су вектори из задатка за вежбу. Вектор

\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b}

клизи док мењате

m

. Кад падне на праву вектора

\overrightarrow{q}

, детерминанта је нула и вектори су колинеарни.

Програми за 3D моделовање и геодетски програми детерминантом проверавају да ли три правца или четири тачке леже у истој равни, на пример да ли је снимљени део терена раван.

Стаза на падини

Геодета снима равну падину на Златибору. Падина садржи правце $\overrightarrow{a} = (4, 1, 0)$ , водоравно дуж падине, и $\overrightarrow{b} = (-1, 2, 1)$ , косо навише; јединица је 10 m. Планирана планинарска стаза има правац $\overrightarrow{c} = (2, 5, 2)$ . Проверите да ли стаза лежи на падини и, ако лежи, разложите $\overrightarrow{c}$ по правцима $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ .

Решење

Стаза је на падини ако су $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ компланарни. Сарусовим правилом: $\begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 16 + 2 + 0 - 0 - 20 + 2 = 0$ .
Из $\overrightarrow{c} = \alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b}$ по координатама: $4\alpha - \beta = 2$ , $\alpha + 2\beta = 5$ , $\beta = 2$ .
Из треће је $\beta = 2$ , па из прве $4\alpha = 4$ , $\alpha = 1$ .
Провера у другој: $1 + 2 \cdot 2 = 5$ .

Одговор: Стаза лежи на падини и важи $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ .

Задатак за вежбу

Дати су вектори $\overrightarrow{a} = (1, 2)$ , $\overrightarrow{b} = (3, -1)$ и $\overrightarrow{c} = (2, 1)$ . Одредите $m$ тако да вектори $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c}$ буду колинеарни.

Прикажи решење

$\overrightarrow{p} = (1 + 3m, 2 - m)$ и $\overrightarrow{q} = (-1, 1)$ . Из $\begin{vmatrix} 1 + 3m & 2 - m \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 + 2m = 0$ следи $m = -\frac{3}{2}$ .