Призма примери 3

Решени задаци, паралелопипед.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4) Основне ивице правог паралелопипеда су 10cm и 17cm, дужина дијагонала основе 21cm, а дужина дијагонала паралелопипеда је 29cm. Израчунати површину и запремину паралелопипеда.

Пр.5) Основа правог паралелопипеда је паралелограм страница $2\sqrt 2$ cm и 5cm и оштрог угла ${45^ \circ }$ , а краћа дијагонала паралелопипеда је 7cm. Израчунати површину и запремину паралелопипеда.

Пр.4)

214

Дате нам да су основне ивице правог паралелопипеда $a = 10cm$ и $b=17cm$ , дужина дијагонала основе ${d_1} = 21cm$ , а дужина дијагонала паралелопипеда је ${D_1} = 29cm$ .

А тражимо површину $P$ и запремину $V$ паралелопипеда.

$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &P = 2B + 2aH + 2bH\end{aligned}$

Висину паралелопипеда $H$ израчунамо из $\vartriangle AC{C_1}$ :

$\begin{aligned}&{H^2} = D_1^2 - d_1^2 \\ &{H^2} = 841 - 441 \\ &{H^2} = 400 \\ &H = 20cm\end{aligned}$

Потребно израчунати површину базе паралелопипеда $B$

У бази паралелопипеда налази паралелограм. Његова површина је $B = ab \cdot \sin \alpha$

Применимо косиносну теорему на $\vartriangle ABC$

$\begin{aligned}&d_1^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) \\ &21^2 = {17^2} + {10^2} - 2 \cdot 17 \cdot 10 \cdot \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) \\ &\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \frac{{52}}{{340}} \\ &- \cos \alpha = - \frac{{52}}{{340}} \\ &cos\alpha = \frac{{52}}{{340}}\end{aligned}$

Дале

$\begin{aligned}&{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{{52}}{{340}}} \right)^2} = 1 \\ &\sin \alpha = \frac{{336}}{{340}} \\ &B = 17 \cdot 10 \cdot \frac{{336}}{{340}} = 168 \\ &P = 2 \cdot 168 + 2 \cdot 17 \cdot 20 + 2 \cdot 10 \cdot 20 = 1416c{m^2} \\ &V = 168 \cdot 20 = 3360c{m^3}\end{aligned}$

Пр.5)

215

Дате нам да су основне ивице правог паралелопипеда $a = 2\sqrt 2cm$ и $b=5cm$ и оштар угао $\alpha ={45^ \circ }$ , а краћа дијагонала паралелопипеда је ${D_2} = 7cm$ .

А тражимо површину $P$ и запремину $V$ паралелопипеда.

Применимо косиносну теорему на $\vartriangle ABD$

$\begin{aligned}&d_2^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \alpha \\ &d_2^2 = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {5^2} - 2 \cdot 2\sqrt 2 \cdot 5 \cdot \cos {45^ \circ } \\ &d_2^2 = 8 + 25 - 20\sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ &d_2^2 = 13 \\ &{d_2} = \sqrt {13} cm\end{aligned}$

Дале из $\vartriangle DBD_1$

$\begin{aligned}&{H^2} = D_2^2 - d_2^2 \\ &{H^2} = 49 - 13 \\ &{H^2} = 36 \\ &H = 6cm\end{aligned}$

$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &B = ab \cdot \sin \alpha = 2\sqrt 2 \cdot 5 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 10c{m^2} \\ &M = 2aH + 2bH = 2 \cdot 2\sqrt 2 \cdot 6 + 2 \cdot 5 \cdot 6 = \left( {24\sqrt 2 + 60} \right)c{m^2} \\ &P = 2 \cdot 10 + 24\sqrt 2 + 60 = \left( {80 + 24\sqrt 2 } \right)c{m^2} \\ &V = B \cdot H \\ &V = 60c{m^3}\end{aligned}$

За површину и запремину правог паралелопипеда потребна је површина основе, $B = ab\sin\alpha$ . Ако угао није дат, нађите га из дијагонале основе косинусном теоремом, $d^2 = a^2 + b^2 \mp 2ab\cos\alpha$ (минус за краћу, плус за дужу дијагоналу), а затим $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ . Висину добијате из правоуглог троугла: $H^2 = D^2 - d^2$ , где су $D$ и $d$ одговарајуће просторна и основна дијагонала.

Затим је $M = 2aH + 2bH$ , $P = 2B + M$ и $V = BH$ . Ако је угао основе дат, као $45^\circ$ , косинусном теоремом рачунате дијагоналу основе, а из ње висину. Све дужине пре рачунања изразите у истој јединици. Честа грешка је узети $\cos\alpha$ уместо $\sin\alpha$ у формули за површину основе.

Краћа дијагонала d7,5 m

Дебљина плоче H0,15 m

Површина основе B: 42 m²
Запремина V = BH: 6,3 m³
Омотач M: 4,05 m²

Странице од 7 m и 6,5 m остају исте, а дијагонала

d

одређује угао

\alpha

и површину

B = ab\sin\alpha

. За

d = 7{,}5

m то је 42 m². Површина је највећа кад је

\alpha = 90^\circ

: без дијагонале или угла површина се не може знати.

Мајстори овако рачунају бетон и оплату за плоче и темеље облика паралелограма: метром измере странице и једну дијагоналу, па без угломера добијају површину и запремину.

Бетонска плоча терасе

Тераса облика паралелограма има странице 6,5 m и 7 m, а мајстор је метром измерио и краћу дијагоналу: 7,5 m. Тераса се бетонира плочом дебљине 15 cm. Колико бетона треба и колико квадратних метара даске за оплату око ивица плоче?

Решење

Краћа дијагонала лежи наспрам оштрог угла $\alpha$ : $7{,}5^2 = 6{,}5^2 + 7^2 - 2 \cdot 6{,}5 \cdot 7\cos\alpha$ , па је $\cos\alpha = \frac{42{,}25 + 49 - 56{,}25}{91} = \frac{35}{91} = \frac{5}{13}$ .
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}$ , па је површина основе $B = ab\sin\alpha = 6{,}5 \cdot 7 \cdot \frac{12}{13} = 42$ m².
Плоча је прав паралелопипед висине $H = 0{,}15$ m: $V = BH = 42 \cdot 0{,}15 = 6{,}3$ m³.
Оплата иде око омотача: $M = 2aH + 2bH = 2 \cdot 6{,}5 \cdot 0{,}15 + 2 \cdot 7 \cdot 0{,}15 = 1{,}95 + 2{,}1 = 4{,}05$ m².

Одговор: За плочу треба 6,3 m³ бетона и 4,05 m² даске за оплату ивица.

Задатак за вежбу

Основа правог паралелопипеда је паралелограм страница 4 cm и $6\sqrt 2$ cm са оштрим углом од $45^\circ$ , а краћа просторна дијагонала је 7 cm. Израчунајте површину и запремину паралелопипеда.

Прикажи решење

$d_2^2 = 16 + 72 - 2 \cdot 4 \cdot 6\sqrt 2 \cdot \frac{\sqrt 2}{2} = 40$ , па је $H = \sqrt{49 - 40} = 3$ cm. $B = 4 \cdot 6\sqrt 2 \cdot \frac{\sqrt 2}{2} = 24$ cm², $M = 24 + 36\sqrt 2$ cm², $P = 72 + 36\sqrt 2 \approx 122{,}91$ cm² и $V = 72$ cm³.