Пирамида – примери 3

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5)   Основа четворостране пирамиде је правоугаоник страница 18cm и 10cm. Висина пирамиде је 12cm, а подножје висине је пресек дијагонала основе. Израчунати површину и запремину пирамиде.

Пр.6)   Основа пирамиде је једнакокраки троугао чији је крак 7cm, а основица 6cm. Врх пирамиде је од ових страница основе удаљен за дужину која се према висини пирамиде односи 5:4. Израчунати површину и запремину пирамиде.

Пр.5)

У овом задатку потребно израчунати површину и запремину пирамиде.

$$\begin{aligned}&P = B + M \\ &V = \frac{1}{3}B \cdot H\end{aligned}$$

Знамо да се подножје висине налази у пресеку дијагонала правоугаоника, односно у центру описаноj кружнице око основе, онда ова пирамида jе права и јој све бочне ивице једнаке. Означимо бочне ивице са $s$.

Бочне стране овоj пирамиде су jеднакокраке троуглове са основицима 18cm и 10cm.

Означимо висине бочне стране са ${h_a}$ и ${h_b}$. Израчунамо ${h_a}$ и ${h_b}$ из правоугли троуглова

$$\begin{aligned}&h_a^2 = {H^2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} \\ &h_a^2 = {12^2} + {5^5} \\ &h_a^2 = 169 \\ &{h_a} = 13cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&h_b^2 = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &h_a^2 = {12^2} + {9^5} \\ &h_a^2 = 225 \\ &{h_a} = 15cm\end{aligned}$$

Сад можемо израчунати површину и запремину пирамиде.

$$\begin{aligned}&P = B + M \\ &P = ab + 2 \cdot \frac{{a{h_a}}}{2} + 2\frac{{b{h_b}}}{2} \\ &P = 18 \cdot 10 + 18 \cdot 13 + 10 \cdot 15 \\ &P = 564c{m^2} \\ &V = \frac{1}{3}B \cdot H \\ &V = \frac{1}{3}abH \\ &V = \frac{1}{3}18 \cdot 10 \cdot 12 \\ &V = 720c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.6)

Означимо основицу пирамиде са $a=6cm$, а крак са $b=7cm$. Знамо да је врх пирамиде  од свих страница основе једнако удаљен, ово растојање означимо са $h$, а висину пирамиде означимо са $H$, онда можемо записати: $h:H = 5:4$.

Означимо врх пирамиде са $S$, подножиj висине пирамиде са $O$, а бочне висине са $SX$,$SY$ и $SZ$. И уколико сада посматрамо на троуглови $\vartriangle SOX$, $\vartriangle SOY$ и $\vartriangle SOZ$, видићемо да они су подударне (ССУ). Из овога можемо закључити, да страници $OX$, $OY$ и $OZ$ су међусобно једнаке и  једнаке су полупречнику $r$  уписаној кружнице.

Знамо да

$${P_\Delta } = \frac{{a \cdot {h_a}}}{2} = r \cdot s$$

Из правоуглог троугла можемо израчунати ${h_a}$

$$\begin{aligned}&h_a^2 = {b^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &h_a^2 = 40 - 9 \\ &h_a^2 = \sqrt {40} \\ &{h_a} = 2\sqrt {10} cm\end{aligned}$$

и сад можемо израчунати базу пирамиде

$$\begin{aligned}&{P_\Delta } = B = \frac{{a \cdot {h_a}}}{2} \\ &B = \frac{{6 \cdot 2\sqrt {10} }}{2} \\ &B = 6\sqrt {10} cm\end{aligned}$$

Дале ћемо израчунати полуобим троугла $s$

$$\begin{aligned}&s = \frac{{a + 2b}}{2} \\ &s = \frac{{6 + 14}}{2} \\ &s = 10cm\end{aligned}$$

Из  једнакости $B = rs$ добијамо $r = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}$.

Из пропорциjе коjа jе дата у задатку $$\begin{aligned}&5H = 4h \\ &H = \frac{{4h}}{5}\end{aligned}$$

Израчунамо $h$ из правоуглог троугла

$$\begin{aligned}&{h^2} = {H^2} + {r^2} \\ &{h^2} = {\left( {\frac{{4h}}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} \\ &{h^2} - {\left( {\frac{{4h}}{5}} \right)^2} = {\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} \\ &\frac{9}{{25}}{h^2} = \frac{{90}}{{25}} \\ &{h^2} = 10 \\ &h = \sqrt {10} cm\end{aligned}$$

Онда $H = \frac{{4\sqrt {10} }}{5}cm$

$$\begin{aligned}&P = B + M \\ &M = \frac{{ah}}{2} + 2\frac{{bh}}{2} \\ &M = \frac{{6\sqrt {10} }}{2} + 7\sqrt {10} \\ &M = 10\sqrt {10} c{m^2} \\ &P = 16\sqrt {10} c{m^2} \\ &V = \frac{1}{3}B \cdot H \\ &V = \frac{1}{3}6\sqrt {10} \cdot \frac{{4\sqrt {10} }}{5} \\ &V = 16c{m^3}\end{aligned}$$