Векторски производ вектора

Дефиниција и особине, примена векторског производа вектора.

Векторски производ $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ је вектор нормалан и на $\overrightarrow{a}$ и на $\overrightarrow{b}$ , усмерен по правилу десне руке. Његов интензитет је $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \sin\varphi$ , где је $\varphi$ угао између вектора, и једнак је површини паралелограма над $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ ; троугао над њима има половину те површине. У координатама је $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$ , што се рачуна као детерминанта са $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ у првој врсти.

Производ није комутативан: $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ . За колинеарне векторе он је нула-вектор, па $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ значи $\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$ . Најчешћа грешка је знак: у развоју детерминанте члан уз $\overrightarrow{j}$ иде са минусом.

Прва координата вектора b−1,5

Друга координата вектора b0,5

Трећа координата вектора b0

|a| · |b| · sin φ: 3,75
|a × b|: 3,75
Угао φ између a и b: 71,6°

Клизач

b_2

помера

\overrightarrow{b}

дуж

\overrightarrow{a}

: паралелограм се криви, а површина и

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}

се не мењају. Кад

b_1

промени знак,

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}

се окрене на другу страну, а кад је

\overrightarrow{b} \parallel \overrightarrow{a}

, производ је нула.

У механици је момент силе $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ : од њега зависи колико сила окреће кључ, врата или точак. Програми за 3D графику векторским производом две ивице троугла добијају нормалу површи, по којој рачунају осветљење.

Кључ за педалу

Бициклиста кључем притеже педалу. Координатни систем је у завртњу, јединица је метар: осовина педале лежи на оси $y$ , кључ дуж осе $x$ , а рука делује на крају кључа, чији је вектор положаја $\overrightarrow{r} = (0{,}25;\ 0;\ 0)$ . Сила руке је $\overrightarrow{F} = (90;\ 0;\ -120)$ у њутнима. Израчунајте момент силе $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ и његов интензитет.

Решење

Формула: $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = (r_2F_3 - r_3F_2,\ r_3F_1 - r_1F_3,\ r_1F_2 - r_2F_1)$ , где је $r_1 = 0{,}25$ , $r_2 = r_3 = 0$ , $F_1 = 90$ , $F_2 = 0$ , $F_3 = -120$ .
Прва координата: $0 \cdot (-120) - 0 \cdot 0 = 0$ . Друга: $0 \cdot 90 - 0{,}25 \cdot (-120) = 30$ . Трећа: $0{,}25 \cdot 0 - 0 \cdot 90 = 0$ .
Дакле $\overrightarrow{M} = (0;\ 30;\ 0)$ и $|\overrightarrow{M}| = 30$ N·m. Вектор $\overrightarrow{M}$ лежи на оси $y$ , дуж осовине око које се завртањ окреће.
Провера синусом: $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{90^2 + 120^2} = 150$ N, $\cos\varphi = \frac{\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{F}}{|\overrightarrow{r}| \cdot |\overrightarrow{F}|} = \frac{22{,}5}{0{,}25 \cdot 150} = 0{,}6$ , па је $\sin\varphi = 0{,}8$ и $|\overrightarrow{M}| = 0{,}25 \cdot 150 \cdot 0{,}8 = 30$ N·m.

Одговор: Момент силе је $\overrightarrow{M} = (0;\ 30;\ 0)$ , интензитета 30 N·m: завртањ окреће само део силе од 150 N који је нормалан на кључ.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ за $\overrightarrow{a} = (1, 2, -1)$ и $\overrightarrow{b} = (3, 0, 2)$ , а затим површину паралелограма над тим векторима.

Прикажи решење

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 0,\ (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 2,\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3) = (4, -5, -6)$ . Површина је $\sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} \approx 8{,}77$ .