Лопта и полиедри – примери 3

Лопта уписана у трострaну призму. Сложенији пример.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5) У праву призму чија је основа правоугли троугао, оштрог угла ${30^ \circ }$ и хипитенузе 10cm, уписана је лопта. Израчунати однос површина лопте и призме.

Пр.5)

388

$\begin{aligned}&\alpha = {30^ \circ } \\ &\underline {c = 10cm} \\ &\frac{{{P_L}}}{{{P_V}}} = ? \\ & \\ &{P_\vartriangle } = \left( {\frac{{ab}}{2}} \right) = s \cdot {r_u} \\ & \\ &{P_L} = 4{R^2}\pi \\ &s = \frac{{a + b + c}}{2} \\ &\sin {30^ \circ } = \frac{a}{c} = \frac{a}{{10}} \\ &\frac{1}{2} = \frac{a}{{10}} \\ &a = 5cm \\ & \\ &\cos {30^ \circ } = \frac{b}{c} \\ &\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{b}{{10}} \\ &2b = 10\sqrt 3 \\ &b = 5\sqrt 3 cm\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{P_\Delta } = \frac{{ab}}{2} \\ &{P_\Delta } = \frac{{25\sqrt 3 }}{2} \\ &{P_\Delta } = s{r_u};s = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{2} \\ &\frac{{25\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{2}{r_u} \\ &{r_u} = \frac{{\frac{{25\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} \cdot \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{3 - \sqrt 3 }} \\ &{r_u} = \frac{{5\sqrt 3 \cdot \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{6} \\ &R = \frac{{5\sqrt 3 \cdot \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{6} \\ &H = \frac{{5\sqrt 3 \cdot \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{3} \\ & \\ &{P_L} = 4{R^2}\pi \\ &{P_L} = 4{\left( {\frac{{5\sqrt 3 \cdot \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{6}} \right)^2}\pi \\ &{P_L} = 4\frac{{25 \cdot 3 \cdot \left( {9 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt 3 + 3} \right)}}{{36}}\pi \\ &{P_L} = \frac{{25 \cdot \left( {12 - 6\sqrt 3 } \right)}}{3}\pi \\ &{P_L} = \frac{{25 \cdot 6 \cdot \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{3}\pi \\ &{P_L} = 50 \cdot \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\pi c{m^2} \\ & \\ &{P_P} = 2B + M \\ &{P_P} = 2 \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{2} + \left( {a + b + c} \right) \cdot H \\ &{P_P} = 25\sqrt 3 + \left( {15 + 5\sqrt 3 } \right) \cdot \frac{{5\sqrt 3 \cdot \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{3} \\ &{P_P} = 25\sqrt 3 + 5\left( {3 + \sqrt 3 } \right) \cdot \frac{{5\sqrt 3 \cdot \left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{3} \\ &{P_P} = 25\sqrt 3 + \frac{{25\sqrt 3 \cdot \left( {9 - 3} \right)}}{3} \\ &{P_P} = 75\sqrt 3 c{m^2} \\ & \\ &\frac{{{P_L}}}{{{P_P}}} = \frac{{50 \cdot \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\pi }}{{75\sqrt 3 }} = \frac{{2 \cdot \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\pi }}{{3\sqrt 3 }}\end{aligned}$

Лопта је уписана у праву призму кад додирује обе основе и све бочне стране. Зато је висина призме једнака пречнику лопте, $H = 2R$ , а полупречник лопте једнак полупречнику кружнице уписане у основу: $R = r_u$ . Таква лопта постоји само ако основа има уписану кружницу, што важи за сваки троугао.

За троугао у основи је $r_u = \frac{P_\Delta}{s}$ , где је $s$ полуобим; за правоугли троугао са катетама $a$ , $b$ и хипотенузом $c$ важи и $r_u = \frac{a + b - c}{2}$ . Затим $P_L = 4R^2\pi$ и $P = 2B + O \cdot H$ . Код правоуглог троугла са углом од $30^\circ$ катете су $\frac{c}{2}$ и $\frac{c\sqrt3}{2}$ . При рационалисању пазите: $\frac{5\sqrt3}{3 + \sqrt3}$ множите са $\frac{3 - \sqrt3}{3 - \sqrt3}$ .

Основна ивица a6 cm

Полупречник лопте r: 1,73 cm
Висина H = 2r: 3,46 cm
Површина призме: 93,53 cm²
Површина лопте : призме: 0,403

Висина призме је увек

2r

, па лопта полупречника

r

додирује обе основе и све бочне стране. За

a = 6

је

r = \sqrt3

и

P = 54\sqrt3

. Однос површина лопте и призме не зависи од величине призме: увек је око 0,403.

Произвођачи амбалаже траже кутију у коју производ облика кугле тачно стаје, да би смањили утрошак картона и празан простор у паковању.

Бомбона у кутији

Чоколадна кугла пакује се у кутију у облику праве тростране призме, тако да додирује обе основе и све три бочне стране. Основа кутије је правоугли троугао са катетама 6 cm и 8 cm. Колика је кугла, колико картона треба за кутију и који део кутије заузима кугла?

Решење

Хипотенуза је $c = 10$ cm, $B = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ cm² и $s = 12$ cm, па је $R = r_u = \frac{B}{s} = 2$ cm.
Висина кутије је пречник кугле: $H = 2R = 4$ cm.
Картон: $P = 2B + O \cdot H = 48 + 24 \cdot 4 = 144$ cm².
Кугла: $V_L = \frac{4}{3} \cdot 8\pi = \frac{32\pi}{3} \approx 33{,}5$ cm³, а кутија $V = 24 \cdot 4 = 96$ cm³, па кугла заузима око $33{,}5 : 96 \approx 0{,}35$ кутије.

Одговор: Кугла има полупречник 2 cm, за кутију треба 144 cm² картона, а кугла заузима око 35 % кутије.

Задатак за вежбу

У правилну тространу призму уписана је лопта полупречника $\sqrt3$ cm. Израчунајте основну ивицу, висину и површину призме.

Прикажи решење

Из $r_u = \frac{a\sqrt3}{6} = \sqrt3$ је $a = 6$ cm, а $H = 2\sqrt3$ cm. $P = 2 \cdot 9\sqrt3 + 3 \cdot 6 \cdot 2\sqrt3 = 54\sqrt3 \approx 93{,}5$ cm².