Шестоугао, трапез и круг

Шестоугао, трапез, једнакокраки трапез, правоугли трапез, круг.

Правилни шестоугао дели се на шест једнакостраничних троуглова странице aa, па је P=3a232P = \frac{3a^2\sqrt 3}{2}, полупречник описаног круга R=aR = a, а уписаног r=a32r = \frac{a\sqrt 3}{2}. Дужа дијагонала је 2a2a, а краћа a3a\sqrt 3.

Трапез има две паралелне основице aa и bb, а P=a+b2⋅h=m⋅hP = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h, где је mm средња линија. Код једнакокраког трапеза пројекција крака на основицу је a−b2\frac{a - b}{2}, а код правоуглог је један крак уједно висина. Круг има P=r2πP = r^2\pi и O=2rπO = 2r\pi; исечак са централним углом α\alpha има површину r2πα360∘\frac{r^2\pi\alpha}{360^\circ} и лук l=rπα180∘l = \frac{r\pi\alpha}{180^\circ}. Честа грешка је код трапеза узети само једну основицу.

aR = aO
3 cm
Површина шестоугла
23,38 cm²
Површина круга
28,27 cm²
Однос
82,7%
Шестоугао се састоји од шест једнакостраничних троуглова, а полупречник описаног круга једнак је страници. Однос површина шестоугла и круга увек је 332π≈82,7\frac{3\sqrt 3}{2\pi} \approx 82{,}7 %, ма колика била страница.

Правилни шестоуглови покривају раван без празнина, па се срећу у бехатон плочама и пчелињем саћу; трапез је попречни пресек насипа и канала, а круг цеви, шахтова и точкова.

Бехатон плоче

Стаза у дворишту поплочава се бехатон плочама облика правилног шестоугла странице 12 cm. Колика је површина једне плоче и колико плоча иде на 1 m² ако се фуге занемаре? Колико плоча треба купити за стазу од 15 m², са 5 % резерве за сечење?

Решење

  1. Плоча се састоји од шест једнакостраничних троуглова: P=3a232=3⋅144⋅32=2163≈374,1P = \frac{3a^2\sqrt 3}{2} = \frac{3 \cdot 144 \cdot \sqrt 3}{2} = 216\sqrt 3 \approx 374{,}1 cm².
  2. Један квадратни метар има 10.000 cm², па на њега иде 10 000374,1≈26,7\frac{10\,000}{374{,}1} \approx 26{,}7 плоча.
  3. За 15 m² треба 150 000374,1≈401\frac{150\,000}{374{,}1} \approx 401 плоча, а са 5 % резерве 401⋅1,05≈421401 \cdot 1{,}05 \approx 421.

Одговор: Једна плоча има око 374 cm², на 1 m² иде око 27 плоча, а за стазу треба купити око 421 плочу.

Задатак за вежбу

Једнакокраки трапез има основице 10 cm и 4 cm и крак 5 cm. Израчунајте висину, средњу линију и површину трапеза.

Прикажи решење

Пројекција крака је 10−42=3\frac{10 - 4}{2} = 3 cm, па је h=52−32=4h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 cm. Средња линија је m=10+42=7m = \frac{10 + 4}{2} = 7 cm, а P=m⋅h=28P = m \cdot h = 28 cm².