Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Крамерово правило – примери 2

Решавање једначина задатих у облику детерминанте.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.2)   Решити следећи систем једначина.

           2x+y−z=72x + y - z = 7

           5x−4y+7z=15x - 4y + 7z = 1

           7x−3y+6z=87x - 3y + 6z = 8

Пр.2)

Ds=∣21−15−477−36∣2571−4−3=−48+49+15−28+42−30=0Dx=∣71−11−478−36∣7181−4−3=−168+56+3−32+147−6=0Dy=∣27−1517786∣257718=12+343−40+7−112−210=0Dz=∣2175−417−38∣2571−4−3=−64+7−105+196+6−40=0\begin{aligned}&{D_s} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 2&1&{ - 1} \\ 5&{ - 4}&7 \\ 7&{ - 3}&6 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ { - 4} \\ { - 3} \end{array} = - 48 + 49 + 15 - 28 + 42 - 30 = 0 \\ & \\ &{D_x} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 7&1&{ - 1} \\ 1&{ - 4}&7 \\ 8&{ - 3}&6 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 7 \\ 1 \\ 8 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ { - 4} \\ { - 3} \end{array} = - 168 + 56 + 3 - 32 + 147 - 6 = 0 \\ & \\ &{D_y} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 2&7&{ - 1} \\ 5&1&7 \\ 7&8&6 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 7 \\ 1 \\ 8 \end{array} = 12 + 343 - 40 + 7 - 112 - 210 = 0\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{}&{} \end{array} \\ & \\ &{D_z} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 2&1&7 \\ 5&{ - 4}&1 \\ 7&{ - 3}&8 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 \\ { - 4} \\ { - 3} \end{array} = - 64 + 7 - 105 + 196 + 6 - 40 = 0\end{aligned}

Ds=Dx=Dy=Dz⇒{D_s} = {D_x} = {D_y} = {D_z} \Rightarrow неодређен систем. Датиј систем решавамо Гаусовим поступком.

2x+y−z=75x−4y+7z=17x−3y+6z=8‾2x+y−z=713x+3z=2913x+3z=29‾3z=29−13xz=29−13x32x+y−29−13x3=7y=7−2x+29−13x3y=21−6x+29−13x3y=−19x+503(x,y,z)=(x,50−19x3,29−13x3)\begin{aligned}&2x + y - z = 7 \\ &5x - 4y + 7z = 1 \\ &\underline {7x - 3y + 6z = 8} \\ &2x + y - z = 7 \\ &13x + 3z = 29 \\ &\underline {13x + 3z = 29} \\ &3z = 29 - 13x \\ &z = \frac{{29 - 13x}}{3} \\ &2x + y - \frac{{29 - 13x}}{3} = 7 \\ &y = 7 - 2x + \frac{{29 - 13x}}{3} \\ &y = \frac{{21 - 6x + 29 - 13x}}{3} \\ &y = \frac{{ - 19x + 50}}{3} \\ & \\ &\left( {x,y,z} \right) = \left( {x,\frac{{50 - 19x}}{3},\frac{{29 - 13x}}{3}} \right)\end{aligned}

Кад су детерминанта система и све детерминанте непознатих нуле, D=Dx=Dy=Dz=0D = D_x = D_y = D_z = 0, Крамерово правило не даје решење, па систем решавате Гаусовим поступком. Елиминишите једну непознату из два пара једначина. Ако се добију две исте једначине, једна је сувишна и систем је неодређен. Тада једну непознату узмите као слободну, а остале изразите преко ње, на пример (x,y,z)=(t,2t−1,3−t)(x, y, z) = (t, 2t - 1, 3 - t) за свако реално tt. Ако се при елиминацији добије нетачна једнакост, као 0=50 = 5, систем је немогућ.

Честа грешка је да се из D=0D = 0 одмах закључи да решења нема или да их има бесконачно много: одлуку доноси тек Гаусов поступак.

x+y+z=x+y+z=x+y+z=
D =
121213334
= 0
Dx =
76021116013192034
= 0
Dy =
17601211603319204
= 0
Dz =
12760211160331920
= 0

Систем нема јединствено решење: D = 0.

Како је и Dx = Dy = Dz = 0, систем има бесконачно много решења.

Систем нема јединствено решење: D = 0. Како је и Dx = Dy = Dz = 0, систем има бесконачно много решења.

Детерминанта система D
0
Детерминанта Dx
0
Детерминанта Dy
0
Број решења
∞
Све четири детерминанте су нула и решења има бесконачно много. Упишите 1900 уместо 1920: DD остаје нула, али DxD_x више није, па систем нема решења, јер се рачуни више не слажу.

Неодређен систем показује да подаци нису довољни: кад је један рачун збир два друга, он не доноси нову информацију. Тако аналитичари проверавају да ли из мерења уопште могу да одреде непознате.

Рачуни са пијаце

На пијаци у Чачку Ана је за 1 kg јабука, 2 kg крушака и 1 kg грожђа платила 760 динара, Бојан за 2 kg јабука, 1 kg крушака и 3 kg грожђа 1160 динара, а Цвета за 3 kg јабука, 3 kg крушака и 4 kg грожђа 1920 динара. Могу ли се из ових рачуна одредити цене? Ако не, изразите их преко цене крушака и израчунајте их ако килограм крушака кошта 200 динара.

Решење

  1. Нека су xx, yy, zz цене јабука, крушака и грожђа по килограму: x+2y+z=760x + 2y + z = 760, 2x+y+3z=11602x + y + 3z = 1160, 3x+3y+4z=19203x + 3y + 4z = 1920.
  2. Сарусовим правилом D=4+18+6−3−9−16=0D = 4 + 18 + 6 - 3 - 9 - 16 = 0, а на исти начин и Dx=Dy=Dz=0D_x = D_y = D_z = 0, па Крамерово правило не даје решење.
  3. Цветин рачун је збир Аниног и Бојановог, па трећа једначина не доноси ништа ново. Решавамо прве две.
  4. Из прве је x=760−2y−zx = 760 - 2y - z. Уврштавањем у другу: 1520−3y+z=11601520 - 3y + z = 1160, па је z=3y−360z = 3y - 360, а затим x=1120−5yx = 1120 - 5y.
  5. За y=200y = 200: x=1120−1000=120x = 1120 - 1000 = 120 и z=600−360=240z = 600 - 360 = 240.

Одговор: Цене се из рачуна не могу одредити, јер је (x,y,z)=(1120−5y, y, 3y−360)(x, y, z) = (1120 - 5y,\ y,\ 3y - 360). Ако крушке коштају 200 динара, јабуке коштају 120, а грожђе 240 динара по килограму.

Задатак за вежбу

Решите систем x+y+z=3x + y + z = 3, x−y+2z=2x - y + 2z = 2, 2x+3z=52x + 3z = 5.

Прикажи решење

D=Dx=Dy=Dz=0D = D_x = D_y = D_z = 0, а трећа једначина је збир прве две. Сабирањем прве две добија се 2x+3z=52x + 3z = 5, па је x=5−3z2x = \frac{5 - 3z}{2} и y=1+z2y = \frac{1 + z}{2}: (x,y,z)=(5−3z2,1+z2,z)(x, y, z) = \left(\frac{5 - 3z}{2}, \frac{1 + z}{2}, z\right), z∈Rz \in \mathbb{R}.