Аналитичка геометрија у равни

Растојање тачака (дужина дужи), подела дужи у датој размери, средина дужи. Дефиниције.

У аналитичкој геометрији тачке задајемо координатама, а дужине и површине рачунамо из њих. Растојање тачака $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ је $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ , а средиште дужи $AB$ је $S\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ . Тачка $M$ која дели дуж $AB$ у односу $\lambda = AM : MB$ је $\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)$ , а тежиште троугла има за координате аритметичке средине координата темена.

Површина троугла је $P = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ ; ако је израз у апсолутној вредности нула, тачке су колинеарне. Честа грешка је минус у формули за средиште: тамо се координате сабирају, а у формули за растојање одузимају и квадрирају.

Обим: 26,18
Површина: 25
Површина у m²: 2500 m²

Дужине страница рачунају се из разлика координата, а површина из формуле са координатама темена. На почетку је парк из примера: угао код

A

је прав, па је

|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2

.

Геодете и урбанисти раде у координатама: из координата темена парцеле рачунају дужине међа, обим и површину, а исто раде и програми за цртање планова.

Ограда око троугластог парка

На плану Новог Сада са јединицом 10 m троугласти парк има темена $A(1, 1)$ , $B(9, 7)$ и $C(-2, 5)$ . Колико метара ограде треба око парка и колика му је површина?

Решење

$|AB| = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ , $|AC| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$ и $|BC| = \sqrt{(-11)^2 + (-2)^2} = \sqrt{125} \approx 11{,}18$ .
Обим: $10 + 5 + 11{,}18 = 26{,}18$ , што је око 262 m ограде.
Површина: $P = \frac{1}{2}|1 \cdot (7 - 5) + 9 \cdot (5 - 1) + (-2) \cdot (1 - 7)| = \frac{1}{2}|2 + 36 + 12| = 25$ .
Провера: $|AB|^2 + |AC|^2 = 100 + 25 = 125 = |BC|^2$ , па је угао код $A$ прав и $P = \frac{10 \cdot 5}{2} = 25$ .
Једна квадратна јединица плана је $10 \cdot 10 = 100$ m², па је $P = 2500$ m².

Одговор: Око парка треба око 262 m ограде, а површина парка је 2500 m².

Задатак за вежбу

Дате су тачке $A(-3, 2)$ и $B(5, -4)$ . Одредите средиште дужи $AB$ и њену дужину.

Прикажи решење

$S\left(\frac{-3 + 5}{2}, \frac{2 - 4}{2}\right) = S(1, -1)$ , а $|AB| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = 10$ .