Пирамида – примери 2

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3)   Израчунати површину и запремину правилне тростране пирамиде, чија је основна ивица 6cm, а бочна страна нагнута према равни основе под углом ${45^ \circ }$.

Пр.4)   Површина омотача правилне шестостране пирамиде је $30\sqrt 3 c{m^2}$, а површина читаве пирамиде је $48\sqrt 3 c{m^2}$.Одреди запремину пирамиде.

Пр.3)

У основи пирамиде налази jеднакостранични троугао, можемо израчунати његову висину ${h_a}$

$$\begin{aligned}&{h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &{h_a} = 3\sqrt 3 cm\end{aligned}$$

У правоуглом троуглу $\vartriangle ABC$ катета jе $\frac{1}{3}{h_a} = \sqrt 3$,  jедан угао jе ${90^ \circ }$, други  jе ${45^ \circ }$, онда и трећи угао jе ${45^ \circ }$. Онда висина пирамиде $H=\sqrt 3 cm$.

Апотема пиамиде ${h}$ jе

$$\begin{aligned}&{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{1}{3}{h_a}} \right)^2} \\ &{h^2} = 3 + 3 \\ &h = \sqrt 6 cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&P = B + M \\ &P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{ah}}{2} \\ &P = \frac{{36\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{6\sqrt 6 }}{2} \\ &P = 9\sqrt 3 + 9\sqrt 6 \\ &P = 9\left( {\sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)c{m^2} \\ &V = \frac{1}{3}BH \\ &V = \frac{1}{3}9\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 \\ &V = 9c{m^3}\end{aligned}$$

Пр.4)

У задатку имамо правилну шестострану пирамиду. Онда у њен основи налази правилан шестоугао. Означимо страницу тог шестоугла са  $a$. За ову пирамиду знамо укупну површину $P$  и површину омотача $M$. Потребно израчунати запремину пирамиде.

$$V = \frac{1}{3}B \cdot H$$

Кад знамо површину пирамиде $P$  и површину омотача $M$ можемо израчунати базу.

$$\begin{aligned}&P = B + M \\ &B + P - M \\ &B = 48\sqrt 3 - 30\sqrt 3 \\ &B = 18\sqrt 3 c{m^2}\end{aligned}$$

Потребна нам jош висина пирамиде $H$. Прво израчунаћемо страницу шестоугла $a$.

Кад смо израчунали базу пирамие, можемо да израчунамо страницу шестоугла $a$.

$$\begin{aligned}&6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 18\sqrt 3 \\ &{a^2} = 12 \\ &a = 2\sqrt 3 cm\end{aligned}$$

Висину пирамиде $H$ израчунаћемо из правоуглог троугла $\vartriangle O{O_1}{O_2}$

$${H^2} = {h^2} - h_a^2$$

Знамо да површина омотача je $M = 6 \cdot \frac{{ah}}{2}$ онда можемо израчунати апотему пирамиде $h$:

$$\begin{aligned}&30\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \cdot h \\ &h = 5cm\end{aligned}$$

Дале $h_a$ jе полупречник кружнице коjа jе уписана у правилан шестоугао. Онда jе

$$\begin{aligned}&{h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &{h_a} = \frac{{2\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }}{2} \\ &{h_a} = 3cm\end{aligned}$$

Израчунаћемо висину пирамиде $H$:

$$\begin{aligned}&{H^2} = {h^2} - h_a^2 \\ &{H^2} = 25 - 9 \\ &{H^2} = 16 \\ &H = 4cm\end{aligned}$$

Можемо израчунати запремену пирамиде:

$$\begin{aligned}&V = \frac{1}{3}B \cdot H \\ &V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt 3 \cdot 4 \\ &V = 24\sqrt 3 c{m^3}\end{aligned}$$