Призма

Површина и запремина призме. Квадар, коцка, правилна тространа призма, правилна четворострана призма и правилна шестострана призма.

Призма има две подударне паралелне основе и бочне стране које су паралелограми; код праве призме бочне стране су правоугаоници, а бочна ивица је висина HH. За сваку призму важи P=2B+MP = 2B + M и V=B⋅HV = B \cdot H, где је BB површина основе, а MM омотач, збир површина бочних страна.

Квадар са ивицама aa, bb и cc има P=2(ab+bc+ac)P = 2(ab + bc + ac), V=abcV = abc и просторну дијагоналу D=a2+b2+c2D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}. Коцка има P=6a2P = 6a^2, V=a3V = a^3 и D=a3D = a\sqrt 3. Код правилне призме са nn бочних страна омотач је M=naHM = naH. Честа грешка је мешање јединица: 1 dm³ је 1 l, а 1 m³ је 1000 l.

abc
80 cm
35 cm
45 cm
Запремина
126 l
Стакло без поклопца
13.150 cm²
Дијагонала D
98,2 cm
Кад су ивице у центиметрима, запремина у литрима је abc1000\frac{abc}{1000}. За 80×35×4580 \times 35 \times 45 cm то је 126 l; продужите акваријум за 10 cm и запремина порасте за 10⋅35⋅451000=15,75\frac{10 \cdot 35 \cdot 45}{1000} = 15{,}75 l.

Запремину и површину призме рачунају произвођачи амбалаже, градитељи кад наручују бетон и свако ко бира акваријум, бојлер или контејнер одређене запремине.

Акваријум

Акваријум облика квадра дугачак је 80 cm, широк 35 cm и висок 45 cm. Колико литара воде стаје у њега кад је пун и колико стакла треба за дно и четири бочна зида, ако поклопац није од стакла?

Решење

  1. Запремина: V=abc=80⋅35⋅45=126 000V = abc = 80 \cdot 35 \cdot 45 = 126\,000 cm³.
  2. Пошто је 1 l = 1 dm³ = 1000 cm³, у акваријум стаје 126 000:1000=126126\,000 : 1000 = 126 l.
  3. Дно: ab=80⋅35=2800ab = 80 \cdot 35 = 2800 cm². Бочни зидови: 2ac+2bc=2⋅80⋅45+2⋅35⋅45=7200+3150=10 3502ac + 2bc = 2 \cdot 80 \cdot 45 + 2 \cdot 35 \cdot 45 = 7200 + 3150 = 10\,350 cm².
  4. Укупно стакла: 2800+10 350=13 1502800 + 10\,350 = 13\,150 cm², односно 1,315 m².

Одговор: У пун акваријум стаје 126 l воде, а за њега треба 1,315 m² стакла.

Задатак за вежбу

Коцка има површину 150 cm². Израчунајте њену ивицу, запремину и дијагоналу.

Прикажи решење

Из 6a2=1506a^2 = 150 следи a=5a = 5 cm. Запремина је V=53=125V = 5^3 = 125 cm³, а дијагонала D=53≈8,66D = 5\sqrt 3 \approx 8{,}66 cm.