Лопта и полиедри – примери 4

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6)   Одреди површину лопте која је уписана у правилну четворострану једнакостраничну пирамиду чија је ивица $\sqrt 2 cm$.

Пр.6)

$$\begin{aligned}&a = \sqrt 2 \\ &\underline {s = \sqrt 2 } \\ &{P_L} = ? \\ & \\ &h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \\ &{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \\ &{H^2} = \frac{6}{4} - \frac{2}{4} \\ &H = 1cm \\ & \\ &\left( {H - R} \right):R = h:{r_u} \\ &\left( {H - R} \right):R = h:\frac{a}{2} \\ &\left( {1 - R} \right):R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}:\frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ &\frac{{\sqrt 6 }}{2}R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - R} \right) \\ &\sqrt 6 R = \sqrt 2 \left( {1 - R} \right) \\ &\sqrt 6 R = \sqrt 2 - \sqrt 2 R \\ &\sqrt 6 R + \sqrt 2 R = \sqrt 2 \\ &R\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 \\ &R = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 2 - 4}}{{6 - 2}} = \frac{{\sqrt 2 - 2}}{2} \\ & \\ &{P_L} = 4{R^2}\pi \\ &{P_L} = 4{\left( {\frac{{\sqrt 2 - 2}}{2}} \right)^2}\pi \\ &{P_L} = \left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\pi c{m^2} \\ &{P_L} = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\pi c{m^2}\end{aligned}$$