Скаларни производ вектора – примери 3

Угао између вектора, интензитет вектора. Услов нормалности вектора.Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5) Наћи угао измећу јединичних вектора $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ ако је $\overrightarrow m$ $\bot$ $\overrightarrow n$ , где је $\overrightarrow m = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b$ и $\overrightarrow n = 5\overrightarrow a - 4\overrightarrow b$ .

Пр.6) Одреди број $x$ тако да вектори $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ буду међусобно нормални, ако је $\left| {\overrightarrow m } \right| = 1,\left| {\overrightarrow n } \right| = 2, < \left( {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right) = {60^ \circ }$ , а вектори $\overrightarrow a = 4\overrightarrow m + x\overrightarrow n$ и $\overrightarrow b = - 2\overrightarrow m + \overrightarrow n$

Пр.5)

$\begin{aligned}&\overrightarrow m \bot \overrightarrow n \Leftrightarrow \overrightarrow m \cdot \overrightarrow n = 0 \\ &\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\left( {5\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right) = 0 \\ &5\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 10\overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - 8\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = 0 \\ &5{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 6\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 8{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 0 \\ &5 - 6\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 8 = 0 \\ &6\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \\ &\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{1}{2} \\ & \\ &\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2} \\ &\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2} \\ &\measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {60^ \circ }\end{aligned}$

Пр.6)

$\begin{aligned}&\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \\ &\left( {4\overrightarrow m + x\overrightarrow n } \right)\left( { - 2\overrightarrow m + \overrightarrow n } \right) = 0 \\ &- 8\overrightarrow m \cdot \overrightarrow m + 4\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n + \left( { - 2x\overrightarrow n \cdot \overrightarrow m } \right) + x\overrightarrow n \cdot \overrightarrow n = 0 \\ &- 8{\left| {\overrightarrow m } \right|^2} + \overrightarrow m \cdot \overrightarrow n \left( {4 - 2x} \right) + x{\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = 0 \\ &- 8 + 4 - 2x + 4x = 0 \\ &2x = 4 \\ &x = 2\end{aligned}$

Два вектора су нормална ако и само ако им је скаларни производ нула: $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ . Услов следи из дефиниције, јер је $\cos 90^\circ = 0$ , и претвара геометријски захтев у једначину коју решавате, а решење проверите уврштавањем. Ако су вектори дати координатама, напишите $a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0$ и решите по непознатој. Ако су дати као комбинације, на пример $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ , помножите изразе као полиноме и замените $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2$ и $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cos\measuredangle(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$ . За јединичне векторе је $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ баш косинус угла између њих.

Пазите на мешовите чланове: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ су једнаки, па се сабирају.

Положај тачке B дуж ивице3 m

Скаларни производ s · AB: 39
Угао прелаза и улице: 77°
Дужина прелаза: 13,34 m

Тачка

B

клизи дуж друге ивице улице. Скаларни производ

\overrightarrow{s} \cdot \overrightarrow{AB}

је нула тачно кад је угао

90^\circ

, у тачки

B(3, 14)

из примера; тада је прелаз и најкраћи, 13 m.

Геодети и урбанисти услов нормалности користе кад обележавају прав угао на терену, пешачке прелазе, темеље и међе, а у рачунарској графици тако се налазе нормале површина.

Пешачки прелаз

На плану улице у Новом Саду, у метрима, ивица тротоара има правац вектора $\overrightarrow{s} = (12, 5)$ . Пешачки прелаз почиње у тачки $A(8, 2)$ на једној страни улице и завршава се у тачки $B(x, 14)$ на другој. Одредите $x$ тако да прелаз буде нормалан на улицу и израчунајте дужину прелаза.

Решење

Вектор прелаза је $\overrightarrow{AB} = (x - 8, 12)$ .
Прелаз је нормалан на улицу ако је $\overrightarrow{s} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ : $12(x - 8) + 5 \cdot 12 = 0$ .
$12x - 96 + 60 = 0$ , па је $12x = 36$ и $x = 3$ .
$\overrightarrow{AB} = (-5, 12)$ , па је $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .

Одговор: Крај прелаза је у тачки $B(3, 14)$ , а прелаз је дуг 13 m.

Задатак за вежбу

Јединични вектори $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ такви су да су вектори $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{n} = 5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ нормални. Одредите угао између $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ .

Прикажи решење

$(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 5 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 15\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 3 = 8 + 16\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ , па је $\cos\measuredangle(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = -\frac{1}{2}$ и угао је $120^\circ$ .