Лопта и полиедри – примери 1

Лопта описана око призме и пирамиде. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Око правилне тростране призме основне ивице 3cm и висине 4cm описана је лопта. Израчунати површину и запремину лопте.

Пр.2) Око правилне четровостране пирамиде описана је лопта. Основна ивица пирамиде је $8\sqrt 2 cm$ , бочна ивица је 10cm. Израчунати површину и запремину лопте.

Пр.1)

384

$\begin{aligned}&a= 3cm \\ &\underline {H = 4cm} \\ &{P_L} = ?,{V_L} = ? \\ & \\ &{r_o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \\ & \\ &{R^2} = {\left( {\frac{H}{2}} \right)^2} + r_o^2 \\ &{R^2} = 4 + 3 \\ &R = \sqrt 7 cm \\ & \\ &{P_L} = 4{R^2}\pi \\ &{P_L} = 4 \cdot 7\pi \\ &{P_L} = 28\pi c{m^2} \\ & \\ &{V_L} = \frac{4}{3}{R^3}\pi \\ &{V_L} = \frac{4}{3}7\sqrt 7 \pi \\ &{V_L} = \frac{{28}}{3}\sqrt 7 \pi c{m^3}\end{aligned}$

Пр.2)

385

$\begin{aligned}&= 8\sqrt 2 cm \\ &\underline {s = 10cm} \\ &{P_L} = ?,{V_L} = ? \\ & \\ &{r_o} = \frac{d}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{8 \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} \\ &{r_o} = 8cm \\ & \\ &{s^2} = {\left( {\frac{d}{2}} \right)^2} + {H^2} \\ &100 = 64 + {H^2} \\ &H = 6cm \\ & \\ &{R^2} = r_o^2 + {\left( {H - R} \right)^2} \\ &{R^2} = 64 + {\left( {6 - R} \right)^2} \\ &12R = 100 \\ &R = \frac{{100}}{{12}} \\ &R = \frac{{25}}{3}cm \\ & \\ &{P_L} = 4{R^2}\pi \\ &{P_L} = 4 \cdot \frac{{625}}{9}\pi \\ &{P_L} = \frac{{2500}}{9}\pi c{m^2} \\ & \\ &{V_L} = \frac{4}{3}{R^3}\pi \\ &{V_L} = \frac{4}{3}{\left( {\frac{{25}}{3}} \right)^3}\pi \\ &{V_L} = \frac{{62500}}{{81}}\pi c{m^3}\end{aligned}$

Око праве призме лопта се може описати кад се око основе може описати кружница, а око сваке правилне призме то је могуће. Центар лопте је средиште дужи која спаја центре основа, па из правоуглог троугла следи $R^2 = r_o^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$ , где је $r_o$ полупречник кружнице описане око основе: $\frac{a\sqrt3}{3}$ за троугао, $\frac{a\sqrt2}{2}$ за квадрат и $a$ за шестоугао.

Код правилне пирамиде центар описане лопте лежи на правој висине: од врха је удаљен $R$ , а од центра основе $|H - R|$ . Отуда $R^2 = r_o^2 + (H - R)^2$ , односно $R = \frac{r_o^2 + H^2}{2H}$ . Затим $P = 4R^2\pi$ и $V = \frac{4}{3}R^3\pi$ . Честа грешка је да се центар стави на средину висине, као код призме.

Основна ивица a2 cm

Висина H3 cm

Полупречник описане лопте: 2,5 cm
Запремина лопте: 65,4 cm³
Запремина призме: 31,2 cm³

Центар описане лопте је на средини висине призме, а од сваког темена удаљен је

\sqrt{r_o^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2}

. За мере играчке то је тачно 2,5 cm.

Описана лопта одређује најмању сферну амбалажу или кућиште око предмета, на пример пластичну капсулу за играчку или стаклену куглу око украса.

Играчка у капсули

Дрвена играчка има облик правилне шестостране призме основне ивице 2 cm и висине 3 cm. Пакује се у лоптасту пластичну капсулу. Колики најмањи пречник мора да има капсула и који део њене запремине заузима играчка?

Решење

Најмања капсула пролази кроз сва темена призме, па је то лопта описана око призме. Центар јој је на средини дужи која спаја центре основа.
Код шестоугла је $r_o = a = 2$ cm, па је $R^2 = r_o^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2 = 4 + 2{,}25 = 6{,}25$ и $R = 2{,}5$ cm.
Капсула: $V_L = \frac{4}{3} \cdot 2{,}5^3\pi = \frac{125\pi}{6} \approx 65{,}4$ cm³.
Играчка: $V = BH = 6 \cdot \frac{2^2\sqrt3}{4} \cdot 3 = 18\sqrt3 \approx 31{,}2$ cm³, што је око $31{,}2 : 65{,}4 \approx 0{,}48$ капсуле.

Одговор: Капсула мора да има пречник најмање 5 cm, а играчка заузима око 48 % њене запремине.

Задатак за вежбу

Око правилне четворостране пирамиде основне ивице $6\sqrt2$ cm и висине 8 cm описана је лопта. Израчунајте полупречник и површину лопте.

Прикажи решење

$r_o = \frac{a\sqrt2}{2} = 6$ cm. Из $R^2 = 36 + (8 - R)^2$ следи $16R = 100$ , па је $R = 6{,}25$ cm. $P = 4R^2\pi = \frac{625\pi}{4} \approx 490{,}9$ cm².