Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Аналитчка геометрија, вектори – примери 7

Колинеарност вектора. Линеарна комбинација вектора. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4)   Дати су вектори a→\overrightarrow a, b→\overrightarrow b, c→\overrightarrow c и d→\overrightarrow d. Испитати да ли су вектори a→\overrightarrow a, b→\overrightarrow b и c→\overrightarrow c линеарно независни и изразити вектор d→\overrightarrow d као линеарну комбинацију вектора a→\overrightarrow a, b→\overrightarrow b и c→\overrightarrow c ако је то могуће. a→=(3,−2,1)\overrightarrow a = \left( {3, - 2,1} \right) b→=(−1,1,−2)\overrightarrow b = \left( { - 1,1, - 2} \right) c→=(2,1,−3)\overrightarrow c = \left( {2,1, - 3} \right) d→=(11,−6,5)\overrightarrow d = \left( {11, - 6,5} \right)

Пр.4)

Ds=∣3−21−11−221−3∣3−12−211=−9+8−1−2+6+6=8≠0{D_s} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 3&{ - 2}&1 \\ { - 1}&1&{ - 2} \\ 2&1&{ - 3} \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 3 \\ { - 1} \\ 2 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} { - 2} \\ 1 \\ 1 \end{array} = - 9 + 8 - 1 - 2 + 6 + 6 = 8 \ne 0

a→,b→,c→\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c линеарно независни.

d→=αa→+βb→+γc→(11;−6;5)=α(3;−2;1)+β(−1;1;−2)+γ(2;1;−3)==(3α;−2α;α)+(−β;β;−2β)+(2γ;γ;−3γ)==(3α−β+2γ;−2α+β+γ;α−2β−3γ)3α−β+2γ=11−2α+β+γ=−6α−2β−3γ=5‾α−2β−3γ=5−3β−5γ=45β+11γ=−4‾α−2β−3γ=5−3β−5γ=48γ=8‾γ=1−3β−5=4;−3β=9;β=−3α+6−3=5;α=2d→=2a→−3b→+c→\begin{aligned}&\overrightarrow d = \alpha \overrightarrow a + \beta \overrightarrow b + \gamma \overrightarrow c \\ &\left( {11; - 6;5} \right) = \alpha \left( {3; - 2;1} \right) + \beta \left( { - 1;1; - 2} \right) + \gamma \left( {2;1; - 3} \right) = \\ &= \left( {3\alpha ; - 2\alpha ;\alpha } \right) + \left( { - \beta ;\beta ; - 2\beta } \right) + \left( {2\gamma ;\gamma ; - 3\gamma } \right) = \\ &= \left( {3\alpha - \beta + 2\gamma ; - 2\alpha + \beta + \gamma ;\alpha - 2\beta - 3\gamma } \right) \\ & \\ &3\alpha - \beta + 2\gamma = 11 \\ &- 2\alpha + \beta + \gamma = - 6 \\ &\underline {\alpha - 2\beta - 3\gamma = 5} \\ &\alpha - 2\beta - 3\gamma = 5 \\ &- 3\beta - 5\gamma = 4 \\ &\underline {5\beta + 11\gamma = - 4} \\ &\alpha - 2\beta - 3\gamma = 5 \\ &- 3\beta - 5\gamma = 4 \\ &\underline {8\gamma = 8} \\ &\gamma = 1 \\ &- 3\beta - 5 = 4; - 3\beta = 9;\beta = - 3 \\ &\alpha + 6 - 3 = 5;\alpha = 2 \\ & \\ &\overrightarrow d = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c\end{aligned}

Три вектора у простору су линеарно независна ако детерминанта њихових координата није нула. Тада чине базу: сваки вектор d→\overrightarrow{d} може се на тачно један начин написати као линеарна комбинација d→=αa→+βb→+γc→\overrightarrow{d} = \alpha\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{b} + \gamma\overrightarrow{c}. Коефицијенте налазите тако што једнакост распишете по координатама: добијате систем од три једначине са три непознате, чије су колоне координате вектора a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b}, c→\overrightarrow{c}. Решите га Гаусовим поступком или Крамеровим правилом; детерминанта система једнака је оној којом сте проверили независност.

Ако је она нула, d→\overrightarrow{d} се или не може изразити или се може на бесконачно много начина. Решење проверите уврштавањем.

α+β+γ=α+β+γ=α+β+γ=
D =
15208151016151024
= −1200
Dα =
78208661016741024
= −2400
Dβ =
15788156616157424
= −2400
Dγ =
152078151066151074
= −1200

α = Dα / D = −2400 / −1200 = 2

β = Dβ / D = −2400 / −1200 = 2

γ = Dγ / D = −1200 / −1200 = 1

Решење: α = 2, β = 2, γ = 1.

Детерминанта D
−1200
Ђубриво A
200 kg
Ђубриво B
200 kg
Ђубриво C
100 kg
Колоне система су састави ђубрива AA, BB и CC, а десна страна је вектор d→\overrightarrow{d}. Пошто је D≠0D \neq 0, за сваку потребу њиве постоји тачно једна мешавина. Упишите друге количине у последњу колону; негативан резултат значи да се тражено не може добити овим ђубривима.

Агрономи рачунају колико сваке врсте ђубрива треба помешати да њива добије тачно потребне количине азота, фосфора и калијума, а нутриционисти на исти начин састављају оброк од намирница познатог састава.

Ђубриво за њиву

Ратар код Сремске Митровице има три врсте ђубрива. Сто килограма ђубрива AA садржи 15 kg азота, 15 kg фосфора и 15 kg калијума, ђубрива BB 20, 10 и 10 kg, а ђубрива CC 8, 16 и 24 kg. Њиви треба d→=(78,66,74)\overrightarrow{d} = (78, 66, 74) kg ових хранива. Проверите да су вектори састава линеарно независни и одредите колико ког ђубрива треба.

Решење

  1. Независност: из врста извучемо 15, 10 и 8: ∣15151520101081624∣=1200∣111211123∣=1200⋅(−1)=−1200≠0\begin{vmatrix} 15 & 15 & 15 \\ 20 & 10 & 10 \\ 8 & 16 & 24 \end{vmatrix} = 1200\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1200 \cdot (-1) = -1200 \neq 0.
  2. Нека је α\alpha, β\beta, γ\gamma број стотина килограма ђубрива AA, BB, CC: 15α+20β+8γ=7815\alpha + 20\beta + 8\gamma = 78, 15α+10β+16γ=6615\alpha + 10\beta + 16\gamma = 66, 15α+10β+24γ=7415\alpha + 10\beta + 24\gamma = 74.
  3. Трећа минус друга: 8γ=88\gamma = 8, па је γ=1\gamma = 1. Прва минус друга: 10β−8γ=1210\beta - 8\gamma = 12, па је β=2\beta = 2.
  4. Из друге: 15α+20+16=6615\alpha + 20 + 16 = 66, па је α=2\alpha = 2. Дакле d→=2a→+2b→+c→\overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.

Одговор: Треба 200 kg ђубрива AA, 200 kg ђубрива BB и 100 kg ђубрива CC.

Задатак за вежбу

Проверите да су вектори a→=(1,1,0)\overrightarrow{a} = (1, 1, 0), b→=(0,1,1)\overrightarrow{b} = (0, 1, 1) и c→=(1,0,1)\overrightarrow{c} = (1, 0, 1) линеарно независни и изразите преко њих вектор d→=(4,3,5)\overrightarrow{d} = (4, 3, 5).

Прикажи решење

Детерминанта је 2≠02 \neq 0. Из α+γ=4\alpha + \gamma = 4, α+β=3\alpha + \beta = 3, β+γ=5\beta + \gamma = 5 следи α=1\alpha = 1, β=2\beta = 2, γ=3\gamma = 3, па је d→=a→+2b→+3c→\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}.