Призма примери 4

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6)   Израчунати површину правилне тростране призме чија је основна ивица $a$, а запремина износи ${a^3}\sqrt 3$.

Пр.7)   Правилна четворострана призма у основи има ромб странице $a$ и оштрог угла ${60^ \circ }$. Израчунати површину и запремину призме ако је висина призме једнака дужој дијагонали основе.

Пр.6)

$$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &P = 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3aH\end{aligned}$$

Прво потребно израчунати $H$

$$\begin{aligned}&V = BH \\ &{a^3}\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}H \\ &H = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = 4a\end{aligned}$$

Можемо израчунати $P$

$$\begin{aligned}&P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + 3a \cdot 4a \\ &P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + 12{a^2} \\ &P = {a^2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 12} \right)cm\end{aligned}$$

Пр.7)

$$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &P = 2{a^2}\sin \alpha + 4aH \\ &V = BH = {a^2}\sin \alpha H\end{aligned}$$

$\vartriangle ABD$ jе jеднакостранични троугао и његова висина $h = \frac{{{d_1}}}{2}$. Са другой стране $$h = a\frac{{\sqrt 3 }}{2}$$ Онда

$$\begin{aligned}&{d_1} = 2\frac{{a\sqrt 3 }}{2} \\ &{d_1} = a\sqrt 3 \\ &H = a\sqrt 3\end{aligned}$$

$$P = 2{a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 4a \cdot a\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 + 4{a^2}\sqrt 3 = 5{a^2}\sqrt 3$$

$$V = BH = {a^2}\sin \alpha H = {a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot a\sqrt 3 = \frac{3}{2}{a^3}$$