Лопта – примери 2

Површина и запремина лопте и лоптиног слоја, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3) Лопта полупречника 25cm je пресечена са две паралелне равни које се налазе са исте стране лопте. Полупречници пресека су 24cm и 20cm. Одредити површину лоптиног слоја.

Пр.4) Полупречник лопте је 15cm. Који се део површине лопте види из тачке која је од центра лопте удаљена 25cm.

Пр.3)

382

$\begin{aligned}&R = 25cm \\ &{r_1} = 24cm \\ &\underline {{r_2} = 20cm} \\ &{P_s} = ?\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\vartriangle OA{O_1}: \\ &{R^2} = r_1^2 + {x^2} \\ &{25^2} = {24^2} + {x^2} \\ &{x^2} = 625 - 576 \\ &{x^2} = 49 \\ &x = 7cm \\ &\vartriangle OB{O_1}: \\ &{R^2} = r_2^2 + {\left( {h + x} \right)^2} \\ &{25^2} = {20^2} + {\left( {h + 7} \right)^2} \\ &{\left( {h + 7} \right)^2} = 625 - 400 \\ &{\left( {h + 7} \right)^2} = 225 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&h + 7 = 15 \\ &\underline {h = 8cm}\end{aligned} &\begin{aligned}&h + 7 = - 15 \\ &h = - 22\end{aligned} \end{array} \\ & \\ &{P_s} = 2R\pi h \\ &{P_s} = 2 \cdot 25\pi \cdot 8 \\ &{P_s} = 400\pi c{m^2}\end{aligned}$

Пр.4)

383

$\begin{aligned}&R = 15cm \\ &\left| {OS} \right| = 25cm \\ &\frac{{{P_K}}}{{{P_L}}} = ? \\ & \\ &\vartriangle OS{T_1}: \\ &{\left| {OS} \right|^2} = {R^2} + {\left| {{T_1}S} \right|^2} \\ &{\left| {{T_1}S} \right|^2} = 625 - 225 \\ &{\left| {{T_1}S} \right|^2} = 400 \\ &\left| {{T_1}S} \right| = 20cm \\ & \\ &P = \frac{{R \cdot \left| {{T_1}S} \right|}}{2} = \frac{{\left| {OS} \right| \cdot x}}{2} \\ &\frac{{15 \cdot 20}}{2} = \frac{{25 \cdot x}}{2} \\ &300 = 25 \cdot x \\ &x = 12cm \\ & \\ &\vartriangle O{O_1}{T_1}: \\ &{R^2} = {x^2} + {\left| {O{O_1}} \right|^2} \\ &{\left| {O{O_1}} \right|^2} = 225 - 144 \\ &{\left| {O{O_1}} \right|^2} = 81 \\ &\left| {O{O_1}} \right| = 9cm \\ & \\ &h = R - \left| {O{O_1}} \right| \\ &h = 6cm \\ & \\ &{P_K} = 2R\pi h \\ &{P_K} = 2 \cdot 15\pi \cdot 6 \\ &{P_K} = 180\pi c{m^2} \\ & \\ &{P_L} = 4{R^2}\pi \\ &{P_L} = 4 \cdot 225\pi \\ &{P_L} = 900\pi c{m^2} \\ & \\ &\frac{{{P_K}}}{{{P_L}}} = \frac{{180\pi }}{{900\pi }} = \frac{1}{5}\end{aligned}$

Лоптин појас је део сфере између две паралелне равни, а лоптин слој део лопте између њих. Површина појаса зависи само од растојања равни: $P = 2R\pi h$ . Кад су познати полупречници пресека $r_1$ и $r_2$ , растојања равни од центра су $d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2}$ и $d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2}$ ; ако су равни са исте стране центра, $h = |d_2 - d_1|$ , а ако су са различитих, $h = d_1 + d_2$ .

Из тачке $S$ на растојању $D$ од центра види се калота коју ограничавају додирне тачке тангенти. Из правоуглог троугла са правим углом у додирној тачки следи да је круг додира на растојању $\frac{R^2}{D}$ од центра, па је $h = R - \frac{R^2}{D}$ , а видљиви део сфере $\frac{h}{2R} = \frac{D - R}{2D}$ , увек мањи од половине.

Растојање од центра D8

Висина калоте h: 2
Видљиви део сфере: 25%

Видљива калота има висину

h = R - \frac{R^2}{D}

. Што сте даље, видите већи део сфере, али никад половину: удео

\frac{D - R}{2D}

увек је мањи од

\frac{1}{2}

.

Из истог рачуна добија се колики део Земље види сателит или авион и колико је далеко хоризонт, што се користи у телекомуникацијама и навигацији.

Колико Земље види сателит

Сателит кружи на висини од 400 km изнад Земље. Ако Земљу посматрамо као лопту полупречника 6370 km, колики део њене површине се види са сателита?

Решење

Растојање сателита $S$ од центра $O$ је $D = 6370 + 400 = 6770$ km. Тангенте из $S$ додирују Земљу по кругу, а видљиви део је калота.
У правоуглом троуглу $OTS$ , где је $T$ додирна тачка, катета $OT = R$ је геометријска средина хипотенузе $OS$ и своје пројекције $OO_1$ : $|OO_1| = \frac{R^2}{D} = \frac{6370^2}{6770} \approx 5993{,}6$ km.
Висина калоте: $h = R - |OO_1| \approx 6370 - 5993{,}6 = 376{,}4$ km.
Удео: $\frac{2R\pi h}{4R^2\pi} = \frac{h}{2R} \approx \frac{376{,}4}{12\,740} \approx 0{,}0295$ .

Одговор: Са сателита се види око 3 % површине Земље, што је око 15 милиона km².

Задатак за вежбу

Лопта полупречника 13 cm пресечена је двема паралелним равнима са исте стране центра. Полупречници пресека су 12 cm и 5 cm. Израчунајте површину лоптиног појаса између тих равни.

Прикажи решење

$d_1 = \sqrt{169 - 144} = 5$ cm, $d_2 = \sqrt{169 - 25} = 12$ cm, па је $h = 12 - 5 = 7$ cm и $P = 2 \cdot 13\pi \cdot 7 = 182\pi \approx 571{,}8$ cm².