Крамерово правило – примери 5

Дискусија решења хомогеног система једначина, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6) Решити систем једначина са параметрима.

$x + y + z = 0$

$ax + 4y + z = 0$

$6x + \left( {a + 2} \right)y + 2z = 0$

Пр.6)

$\begin{aligned}&{D_S} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&1 \\ a&4&1 \\ 6&{a + 2}&2 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&0 \\ a&{4 - a}&{1 - a} \\ 6&{4 - a}&{ - 4} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {4 - a}&{1 - a} \\ {a - 4}&{ - 4} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {4 - a}&{1 - a} \\ { - \left( {4 - a} \right)}&{ - 4} \end{array}} \right| = \left( {4 - a} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&{1 - a} \\ { - 1}&{ - 4} \end{array}} \right| = \left( {4 - a} \right)\left( { - 4 + 1 - a} \right) = \\ & \\ &= \left( {4 - a} \right)\left( { - 3 - a} \right) = - \left( {4 - a} \right)\left( {a + 3} \right) = \left( {a - 4} \right)\left( {a + 3} \right)\end{aligned}$

Знамо да ${D_x} = {D_y} = {D_z} = 0$

1) ${D_s} \ne 0$

$\begin{aligned}&\left( {a - 4} \right)\left( {a + 4} \right) \ne 0 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {a - 4 \ne 0}& \cap &{a + 3 \ne 0} \\ {a \ne 4}&{}&{a \ne - 3} \\ {}&{}&{} \end{array} \\ &\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,0,0} \right)\end{aligned}$

2) ${D_s}= 0$

Ако је $a = 4$

$\begin{aligned}&x + y + z = 0 \\ &ax + 4y + z = 0 \\ &\underline {6x + \left( {a + 2} \right)y + 2z = 0} \\ &x + y + z = 0 \\ &4x + 4y + z = 0 \\ &\underline {6x + 6y + 2z = 0} \\ &x + y + z = 0 \\ &3x + 3y = 0 \\ &\underline {4x + 4y = 0} \\ &x + y + z = 0 \\ &\underline {x + y = 0} \\ &x = - y \\ &z = 0 \\ & \\ &\left( {x,y,z} \right) = \left( { - y,y,0} \right)\end{aligned}$

Ако је $a = -3$

$\begin{aligned}&x + y + z = 0 \\ &ax + 4y + z = 0 \\ &\underline {6x + \left( {a + 2} \right)y + 2z = 0} \\ &x + y + z = 0 \\ &- 3x + 4y + z = 0 \\ &\underline {6x - y + 2z = 0} \\ &x + y + z = 0 \\ &- 4x + 3y = 0 \\ &\underline {4x - 3y = 0} \\ &x + y + z = 0 \\ &\underline { - 4x + 3y = 0} \\ &3y = 4x;y = \frac{{4x}}{3} \\ &x + \frac{{4x}}{3} + z = 0 \\ &z = - x - \frac{{4x}}{3};z = - \frac{7}{3}x \\ & \\ &\left( {x,y,z} \right) = \left( {x,\frac{{4x}}{3}, - \frac{7}{3}x} \right)\end{aligned}$

Хомоген систем има све слободне чланове једнаке нули, па увек има тривијално решење $(0, 0, 0)$ , а $D_x = D_y = D_z = 0$ , јер свака од њих има колону нула. Питање је само да ли постоје и друга решења. Ако је $D \neq 0$ , тривијално решење је једино. Ако је $D = 0$ , систем је неодређен и има бесконачно много решења. Са параметром израчунајте $D$ , на пример $D = (a - 4)(a + 3)$ : за $a \neq 4$ и $a \neq -3$ решење је само $(0, 0, 0)$ . Сваку вредност за коју је $D = 0$ уврстите у систем и Гаусовим поступком изразите две непознате преко треће.

Честа грешка је да се због $D_x = D_y = D_z = 0$ закључи да решења нема.

x+y+z=x+y+z=x+y+z=

D =

1−101−1030−2

= 0

D_x =

0−100−1000−2

= 0

D_y =

10010030−2

= 0

D_z =

1−101−10300

= 0

Систем нема јединствено решење: D = 0.

Како је и D_x = D_y = D_z = 0, систем има бесконачно много решења.

Систем нема јединствено решење: D = 0. Како је и Dx = Dy = Dz = 0, систем има бесконачно много решења.

Детерминанта система D: 0
Број решења: ∞

Сви слободни чланови су нуле. Док је

D = 0

, решења има бесконачно много, а сва су умношци решења

(2, 2, 3)

. Промените

-1

у другој врсти у 0:

D

више није нула и остаје само решење

(0, 0, 0)

, па једначина не би могла да се изједначи.

Хемичари хомогеним системом изједначавају хемијске једначине, а грађевински инжењери на исти начин траже фреквенције на којима мост или зграда сами осцилују: решење различито од нуле постоји само кад је детерминанта нула.

Кисеоник у лабораторији

У школској лабораторији у Суботици кисеоник се добија загревањем калијум-хлората: $x\,\mathrm{KClO_3} \to y\,\mathrm{KCl} + z\,\mathrm{O_2}$ . Број атома сваког елемента мора бити исти на обе стране. Поставите систем за $x$ , $y$ , $z$ , проверите да ли има решења различита од нуле и одредите најмање природне коефицијенте.

Решење

Калијум: $x = y$ ; хлор: $x = y$ ; кисеоник: $3x = 2z$ . Хомоген систем је $x - y = 0$ , $x - y = 0$ , $3x - 2z = 0$ .
$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0$ , јер су прве две врсте једнаке. Зато систем има и решења различита од $(0, 0, 0)$ .
Из прве једначине $y = x$ , а из треће $z = \frac{3x}{2}$ , па је $(x, y, z) = \left(x, x, \frac{3}{2}x\right)$ .
Најмањи природни бројеви добијају се за $x = 2$ : $y = 2$ , $z = 3$ .

Одговор: Једначина гласи $2\,\mathrm{KClO_3} \to 2\,\mathrm{KCl} + 3\,\mathrm{O_2}$ .

Задатак за вежбу

Одредите $a$ тако да систем $x + 2y - z = 0$ , $2x - y + z = 0$ , $x + ay + 2z = 0$ има решења различита од нуле, и нађите их.

Прикажи решење

$D = -3(a + 3)$ , па је $D = 0$ за $a = -3$ . Сабирањем прве две једначине $3x + y = 0$ , па је $y = -3x$ и $z = x + 2y = -5x$ : $(x, y, z) = (x, -3x, -5x)$ . За $a \neq -3$ решење је само $(0, 0, 0)$ .