Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 3

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Одреди једначину праве која $y$-осу сече у тачки -4,

            а са позитивним делом $x$-осе гради угао од ${150^ \circ }$.

Пр.2)   Да ли тачка $M$ (-4,5) припада прави која $x$-осу сече у 2,

            а $y$-осу у -3?

Пр.3)   Одреди коефицијент $m$ тако да права $3mx - y - 3m + 6 = 0$

            сече $y$-осу у тачки 5, а затим одреди угао који права заклапа са

            позитивним делом $x$-осе.

Пр.1)

$$p:y = kx + n$$ $k$-коефицијент правца $k = tg\alpha$,  $n$-одсечак на $y$-оси.

$$\begin{aligned}&n = - 4 \\ &\alpha = 150^\circ \\ &k = tg150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\ & \\ &p:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - 4\end{aligned}$$

Пр.2)$$p:\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$$

$m$-одсечак на $x$-оси,$n$-одсечак на $y$-оси.

$$\begin{aligned}&m = 2,n = - 3 \\ &p:\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\ &p:3x - 2y = 6 \\ &p:2y = 3x - 6 \\ &\underline {p:y = \frac{3}{2}x - 3}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&p:y = kx + n \\ &n = - 3 \\ &p:y = kx - 3 \\ &\left( {2,0} \right) \in p \Rightarrow 0 = k \cdot 2 - 3 \\ &2k = 3 \\ &k = \frac{3}{2} \\ & \\ &\underline {p:y = \frac{3}{2}x - 3}\end{aligned}$$

Проверићемо да ли тачка $M$ (-4,5) припада прави $p$.

Ако $M \in p$ онда:

 $$5 = \frac{3}{2}\left( { - 4} \right) - 3$$

али 

$$5 \ne - 9 \Rightarrow M \notin p$$

Пр.3)

Запишећемо једначиу праве $3mx - y - 3m + 6 = 0$ у облику: $y = kx + n$

$$y = 3m \cdot x - 3m + 6$$

права $3mx - y - 3m + 6 = 0$ сече $y$-осу у тачки 5, онда $n=5$

$$\begin{aligned}&- 3m + 6 = 5 \\ &- 3m = - 1 \\ &m = \frac{1}{3} \\ &k = 3m \\ &k = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \\ &k = tg\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = {45^ \circ }\end{aligned}$$