Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 10

Међусобни положај правих. Угао између две праве, услов паралелености и услов нормалности. Примена на троугао. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.8) Одредити теме $C$ троугла $ABC$ ако је $A\left( {1, - 1} \right)$ и $H\left( {0,5} \right)$

где је $H$ ортоцентар троугла.

Пр.9) Дата су два суседна темена паралелограма $A\left( {2,5} \right)$ и $B\left( {5,3} \right)$

и пресечна тачка дијагонала $S\left( { - 2,0} \right)$ . Одреди дужину висине

на страницу $AB$ и површину тог паралелограма.

Пр.8)

417 png

$\begin{aligned}&{h_a} = p\left( {AH} \right):y - {y_1} = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\left( {x - {x_1}} \right) \\ &y + 1 = \frac{{5 + 1}}{{0 - 1}}\left( {x - 1} \right) \\ &y + 1 = - 6\left( {x - 1} \right) \\ &y = - 6x + 6 - 1 \\ &\underline {{h_a}:y = - 6x + 5} \\ & \\ &a \bot {h_a} \Leftrightarrow {k_a} \cdot {k_{{h_a}}} = - 1 \Rightarrow {k_a} = \frac{1}{6} \\ &a:y = \frac{1}{6}x + n \\ &B \in a:1 = \frac{1}{6} \cdot 4 + n \\ &n = 1 - \frac{4}{6} = \frac{1}{3} \\ &\underline {a:y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{3}} \\ & \\ &{h_b} = p\left( {BH} \right):y - {y_1} = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\left( {x - {x_1}} \right) \\ &y - 1 = \frac{{5 - 1}}{{0 - 4}}\left( {x - 4} \right) \\ &y - 1 = - x + 4 \\ &\underline {{h_b}:y = - x + 5} \\ & \\ &b \bot {h_b} \Leftrightarrow {k_b} \cdot {k_{{h_b}}} = - 1 \Rightarrow {k_b} = 1 \\ &b:y = x + n \\ &A \in b: - 1 = 1 + n \\ &n = - 2 \\ &\underline {b:y = x - 2} \\ & \\ &\left\{ C \right\} = a \cap b \\ &y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{3} \\ &\underline {y = x - 2} \\ &\frac{1}{6}x + \frac{1}{3}\underline {y = x - 2} \\ &\underline {y = x - 2} \\ &x + 2 = 6x - 12 \\ &\underline {y = x - 2} \\ &5x = 14;x = \frac{{14}}{5} \\ &y = \frac{{14}}{5} - 2 = \frac{4}{5} \\ &C\left( {\frac{{14}}{5},\frac{4}{5}} \right)\end{aligned}$

Пр.9)

418 png

$\begin{aligned}&p\left( {AB} \right):y - {y_1} = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\left( {x - {x_1}} \right) \\ &y - 5 = \frac{{3 - 5}}{{5 - 2}}\left( {x - 2} \right) \\ &y - 5 = - \frac{2}{3}x + \frac{4}{3} \\ &y = - \frac{2}{3}x + \frac{{19}}{3} \\ &\underline {\begin{aligned}&3y = - 2x + 19 \\ &p\left( {AB} \right):2x + 3y - 19 = 0\end{aligned}} \\ & \\ &S\left( {\frac{{{x_B} + {x_D}}}{2},\frac{{{y_B} + {y_D}}}{2}} \right) \\ &\left( { - 2,0} \right) = \left( {\frac{{5 + {x_0}}}{2},\frac{{3 + {y_0}}}{2}} \right) \\ &\frac{{5 + {x_0}}}{2} = - 2,\frac{{3 + {y_0}}}{2} = 0 \\ &{x_0} = - 9,{y_0} = - 3 \\ &D\left( { - 9, - 3} \right) \\ & \\ &\left| {{h_a}} \right| = d\left( {D,p\left( {AB} \right)} \right) = \left| {\frac{{2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot \left( { - 3} \right) \cdot 19}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }}} \right| = \\ &= \left| {\frac{{ - 46}}{{\sqrt {13} }}} \right| = \frac{{46\sqrt {13} }}{{13}} \\ & \\ &P = \left| a \right| \cdot \left| {{h_a}} \right| \\ &\left| a \right| = \left| {AB} \right| = \sqrt {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {13} \\ &P = \sqrt {13} \cdot \frac{{46\sqrt {13} }}{{13}} = 46\end{aligned}$

Дијагонале паралелограма $ABCD$ се полове, па је њихов пресек $S$ средиште и дужи $AC$ и дужи $BD$ . Из $x_S = \frac{x_B + x_D}{2}$ следи $x_D = 2x_S - x_B$ , а исто важи за $y$ и за теме $C$ . Висина на страницу $AB$ је растојање темена $D$ од праве $AB$ , па је површина $P = |AB| \cdot h$ .

Кад су дата темена $A$ и $B$ и ортоцентар $H$ , права $AH$ је висина из $A$ , па страница $BC$ пролази кроз $B$ и нормална је на $AH$ . Слично, $AC$ пролази кроз $A$ и нормална је на $BH$ . Теме $C$ је пресек те две странице. Пазите да у формули за растојање слободни члан $C$ из општег облика не помешате са теменом $C$ .

|AB|: 6,32
Ширина h: 5,69
Површина |AB| · h: 36

Темена

C

и

D

су симетрична теменима

A

и

B

у односу на тачку

S

, јер се дијагонале полове. Црвена дуж је ширина плаца

h

, а површина је увек

|AB| \cdot h

. На почетку је плац из примера.

Средиште дијагонала и растојање тачке од праве користе се кад се на плану из неколико познатих тачака рачунају преостала темена парцеле, њена ширина мерена нормално на улицу и површина.

Обележавање плаца

Плац облика паралелограма $ABCD$ има суседна темена $A(2, 1)$ и $B(8, 3)$ уз улицу, а пресек дијагонала, где је геометар побо кочић, у тачки $S(5, 5)$ ; јединица је 10 m. Одредите преостала темена, ширину плаца мерену нормално на улицу $AB$ и површину плаца.

Решење

$C = (2 \cdot 5 - 2,\ 2 \cdot 5 - 1) = (8, 9)$ и $D = (2 \cdot 5 - 8,\ 2 \cdot 5 - 3) = (2, 7)$ .
Права $AB$ : $k = \frac{3 - 1}{8 - 2} = \frac{1}{3}$ , па је $y - 1 = \frac{1}{3}(x - 2)$ , тј. $x - 3y + 1 = 0$ .
Ширина је растојање темена $D$ од праве $AB$ : $h = \frac{|2 - 3 \cdot 7 + 1|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{18}{\sqrt{10}} \approx 5{,}69$ .
$|AB| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ , па је $P = 2\sqrt{10} \cdot \frac{18}{\sqrt{10}} = 36$ .
У метрима: $h \approx 56{,}9$ m, а $P = 36 \cdot 100 = 3600$ m².

Одговор: Преостала темена су $C(8, 9)$ и $D(2, 7)$ ; плац је широк око 56,9 m, а површина му је 3600 m².

Задатак за вежбу

Одредите теме $C$ троугла $ABC$ ако је $A(-1, 0)$ , $B(5, 0)$ , а ортоцентар је $H(1, 2)$ .

Прикажи решење

$k_{AH} = 1$ , па страница $BC$ има $k = -1$ : $y = -x + 5$ . $k_{BH} = -\frac{1}{2}$ , па страница $AC$ има $k = 2$ : $y = 2x + 2$ . Из $-x + 5 = 2x + 2$ следи $C(1, 4)$ .