Аналитчка геометрија, вектори – примери 4

Одређивање линеарне зависности вектора уз помоћ детерминанати. Решени задаци.

Линеарна зависност се најбрже проверава детерминантом. Два вектора у равни су линеарно зависна, односно колинеарна, ако и само ако је $\begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} = 0$ . Три вектора у простору су линеарно зависна, односно компланарна, ако и само ако је детерминанта њихових координата нула: $\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = 0$ . Ако је детерминанта различита од нуле, вектори су независни.

Детерминанту рачунајте Сарусовим правилом или развојем, а пре тога је упростите особинама. Ако се у координатама појављује параметар, услов $D = 0$ постаје једначина по том параметру. Четири или више вектора у простору увек су зависни.

Прва координата треће ноге x−3 dm

Детерминанта 60x − 900: −1080

Ноге из примера, умањене пет пута. Мењајте

x

и пратите детерминанту: за

x = 15

она је нула, стопала су на једној правој, а ноге у истој равни, па статив пада.

Статив, трокрака дизалица или антенски стуб на три сајле стоје стабилно само ако им ноге, односно сајле, нису у истој равни, а то значи да детерминанта вектора њихових праваца није нула.

Статив на неравном терену

Фотограф поставља статив на неравном терену на Тари. Ако је глава статива почетак координатног система, а јединица дециметар, ноге статива су вектори $\overrightarrow{a} = (6, 0, -15)$ , $\overrightarrow{b} = (-3, 4, -15)$ и $\overrightarrow{c} = (x, -4, -15)$ . Статив пада ако су ноге у истој равни. Проверите да ли стоји за $x = -3$ и одредите $x$ за које би ноге биле компланарне.

Решење

Из треће колоне извучемо $-15$ : $D = -15\begin{vmatrix} 6 & 0 & 1 \\ -3 & 4 & 1 \\ x & -4 & 1 \end{vmatrix}$ .
Од друге и треће врсте одузмемо прву: $D = -15\begin{vmatrix} 6 & 0 & 1 \\ -9 & 4 & 0 \\ x - 6 & -4 & 0 \end{vmatrix}$ .
Развој по трећој колони: $D = -15\big(36 - 4(x - 6)\big) = -15(60 - 4x) = 60x - 900$ .
За $x = -3$ : $D = -180 - 900 = -1080 \neq 0$ , па ноге нису у истој равни и статив стоји.
$D = 0$ за $60x = 900$ , односно $x = 15$ .

Одговор: За $x = -3$ вектори су линеарно независни и статив стоји; за $x = 15$ ноге би биле у истој равни и статив би пао.

Задатак за вежбу

Испитајте помоћу детерминанте да ли су вектори $\overrightarrow{a} = (1, -1, 2)$ , $\overrightarrow{b} = (2, 1, 0)$ и $\overrightarrow{c} = (4, -1, 4)$ линеарно зависни.

Прикажи решење

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot (-6) = 0$ , па су вектори зависни; заиста, $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ .