Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Лопта и полиедри 1

Површина и запремина купе. Решени задаци

Полиедар је уписан у лопту, а лопта је описана око њега, кад сва темена полиедра леже на сфери. Око праве призме лопта се може описати ако се око основе може описати кружница, а то важи за сваку правилну призму. Центар лопте је средиште дужи која спаја центре основа, па из правоуглог троугла следи R2=(H2)2+ro2R^2 = \left(\frac{H}{2}\right)^2 + r_o^2.

Код правилне пирамиде центар лежи на правој висине, на растојању RR од врха, па је R2=(H−R)2+ro2R^2 = (H - R)^2 + r_o^2. Полупречник кружнице описане око основе је ro=23ha=a33r_o = \frac{2}{3}h_a = \frac{a\sqrt3}{3} за једнакостранични троугао и ro=d2=a22r_o = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt2}{2} за квадрат. Ако је H<roH < r_o, центар је испод основе, а образац и даље важи. Честа грешка је да се за ror_o узме полупречник уписане уместо описане кружнице.

Hro
6 cm
6 cm
Полупречник лопте R
4,5 cm
Центар лопте изнад основе
1,5 cm
Запремина лопте
381,7 cm³
Запремина пирамиде
72 cm³
Почетне мере су мере модела: R=4,5R = 4{,}5 cm, а центар лопте је 1,5 cm изнад основе. Спустите висину испод ro≈4,24r_o \approx 4{,}24 cm: центар прелази испод основе, растојање постаје негативно, а R2=(H−R)2+ro2R^2 = (H - R)^2 + r_o^2 и даље важи.

Кад предмет облика призме или пирамиде треба сместити у куглу, на пример модел у снежној кугли или кристал брушен из лоптастог комада, полупречник описане лопте говори колика кугла пролази кроз сва његова темена.

Пирамида у снежној кугли

Сувенир је стаклена снежна кугла са моделом пирамиде: пуном правилном четвоространом пирамидом основне ивице 6 cm и висине 6 cm. Сва темена модела додирују унутрашњу површину кугле, а остатак кугле испуњава вода. Колики је унутрашњи пречник кугле и колико воде има у њој?

Решење

  1. Темена модела леже на сфери, па је кугла описана око пирамиде. Њен центар је на правој висине, на растојању RR од врха и H−RH - R од центра основе.
  2. Темена основе удаљена су од центра основе за ro=d2=622=32r_o = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt2 cm, па је ro2=18r_o^2 = 18.
  3. Из правоуглог троугла: R2=(6−R)2+18=36−12R+R2+18R^2 = (6 - R)^2 + 18 = 36 - 12R + R^2 + 18, па је 12R=5412R = 54 и R=4,5R = 4{,}5 cm. Центар је 1,5 cm изнад основе.
  4. Кугла: VL=43⋅4,53π=121,5π≈381,7V_L = \frac{4}{3} \cdot 4{,}5^3\pi = 121{,}5\pi \approx 381{,}7 cm³, модел: V=13⋅36⋅6=72V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = 72 cm³. Воде има 381,7−72≈309,7381{,}7 - 72 \approx 309{,}7 cm³.

Одговор: Унутрашњи пречник кугле је 9 cm, а воде у њој има око 310 cm³, односно око 0,31 l.

Задатак за вежбу

Око правилне тростране призме основне ивице 333\sqrt3 cm и висине 8 cm описана је лопта. Израчунајте полупречник, површину и запремину лопте.

Прикажи решење

ro=a33=3r_o = \frac{a\sqrt3}{3} = 3 cm, па је R2=42+32=25R^2 = 4^2 + 3^2 = 25 и R=5R = 5 cm. P=4R2π=100π≈314,2P = 4R^2\pi = 100\pi \approx 314{,}2 cm², V=43R3π=500π3≈523,6V = \frac{4}{3}R^3\pi = \frac{500\pi}{3} \approx 523{,}6 cm³.