Пирамида – примери 5

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.7)   У основи пирамиде налази се квадрат. Једна бочна ивица нормална је на раван основе, а најдужа бочна ивица има дужину 20cm и нагнута је према равни основе под углом од ${30^ \circ }$. Израчунати површину и запремину пирамиде.

Пр.8)   Одреди површину и запремину правилне тростране пирамиде чија бочна ивица $\ell$ са висином пирамиде заклапа угао $\varphi$.

Пр.7)

У основи пирамиде налази се квадрат. Означимо страницу квадрата са $a$, бочну ивицу која је нормална на раван основе са $H$, најдужу бочну ивицу са $s$, а две други са ${s_1}$.

Погледамо на розе троугао. Он је правоугли. 

$$\begin{aligned}&\sin {30^ \circ } = \frac{H}{s} \\ &\frac{1}{2} = \frac{H}{{20}} \\ &H = 10cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&\cos {30^ \circ } = \frac{d}{s} \\ &\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{d}{{20}} \\ &d = 10\sqrt 3 cm\end{aligned}$$

 $$\begin{aligned}&a\sqrt 2 = 10\sqrt 3 \\ &a = 5\sqrt 6 cm\end{aligned}$$

 $$\begin{aligned}&P = B + M \\ &P = {a^2} + 2 \cdot \frac{{aH}}{2} + 2\frac{{a{s_1}}}{2}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&{s^2} = s_1^2 + {a^2} \\ &400 = s_1^2 + 25 \cdot 6 \\ &s_1^2 = 400 - 150 \\ &s_1^2 = 250 \\ &{s_1} = 5\sqrt {10} cm \\ & \\ &P = 25 \cdot 6 + 5\sqrt 6 \cdot 10 + 5\sqrt 6 \cdot 5\sqrt {10} \\ &P = 150 + 50\sqrt 6 + 25\sqrt {60} \\ &P = 150 + 50\sqrt 6 + 50\sqrt {15} \\ &P = 50\left( {3 + \sqrt 6 + \sqrt {15} } \right)c{m^2} \\ & \\ &V = \frac{1}{3}BH \\ &V = \frac{1}{3} \cdot 150 \cdot 10 \\ &V = 500c{m^2}\end{aligned}$$

Пр.8)

У жутом троуглу имамо:

$$\begin{aligned}&\cos \varphi = \frac{H}{l} \\ &H = l\cos \varphi \\ & \\ &\sin \varphi = \frac{{\frac{2}{3}{h_a}}}{l} \\ &\frac{2}{3}{h_a} = l\sin \varphi \\ &\frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = l\sin \varphi \\ &a\sqrt 3 = 3l\sin \varphi \\ &a = \frac{{3l\sin \varphi }}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \\ &a = \sqrt 3 l\sin \varphi\end{aligned}$$

У зеленом троуглу имамо:

$$\begin{aligned}&{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{1}{3}{h_a}} \right)^2} \\ &\frac{1}{3}{h_a} = \frac{{l\sin \varphi }}{2} \\ &{h^2} = {l^2}{\cos ^2}\varphi + \frac{{{l^2}{{\sin }^2}\varphi }}{4} \\ &{h^2} = \frac{{4{l^2}{{\cos }^2}\varphi + {l^2}{{\sin }^2}\varphi }}{4} \\ &{h^2} = \frac{{{l^2}\left( {4{{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^2}\varphi } \right)}}{4} \\ &{h^2} = \frac{{{l^2}\left( {3{{\cos }^2}\varphi + 1} \right)}}{4} \\ &h = \frac{l}{2}\sqrt {3{{\cos }^2}\varphi + 1} \\ & \\ &B = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \\ &B = \frac{{3{l^2}{{\sin }^2}\varphi \sqrt 3 }}{4} \\ &M = 3\frac{{ah}}{2} \\ &M = 3\frac{{\sqrt 3 l\sin \varphi \frac{l}{2}\sqrt {3{{\cos }^2}\varphi + 1} }}{2} \\ &M = \frac{{3\sqrt 3 {l^2}\sin \varphi }}{4}\sqrt {3{{\cos }^2}\varphi + 1} \\ &P = B + M \\ &P = \frac{{3{l^2}{{\sin }^2}\varphi \sqrt 3 }}{4} + \frac{{3\sqrt 3 {l^2}\sin \varphi }}{4}\sqrt {3{{\cos }^2}\varphi + 1} \\ &P = \frac{{3\sqrt 3 {l^2}\sin \varphi }}{4}\left( {\sin \varphi + \sqrt {3{{\cos }^2}\varphi + 1} } \right) \\ & \\ &V = \frac{1}{3}BH \\ &V = \frac{1}{3}\frac{{3{l^2}{{\sin }^2}\varphi \sqrt 3 }}{4} \cdot l\cos \varphi \\ &V = \frac{{{l^3}{{\sin }^2}\varphi \cdot \cos \varphi \sqrt 3 }}{4}\end{aligned}$$