Детерминанте – примери 3

Решавање једначина задатих у облику детерминанте

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3) Решити једначину задату преко детерминанте.

$\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&1&1 \\ 1&a&1 \\ 1&1&a \end{array}} \right| = 0$

Пр.4) $\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x - 3}&{x + 2}&{x - 1} \\ {x + 2}&{x - 4}&x \\ {x - 1}&{x + 4}&{x - 5} \end{array}} \right| = 0$

Пр.3)

$\begin{aligned}&\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&1&1 \\ 1&a&1 \\ 1&1&a \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&{ - {a^2} + 1}&{ - a + 1} \\ { - 1}&a&1 \\ 0&{ - a + 1}&{ - 1 + a} \end{array}} \right| = - 1\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {1 - {a^2}}&{1 - a} \\ {1 - a}&{a - 1} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= - 1\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}&{1 - a} \\ {1 - a}&{ - \left( {1 - a} \right)} \end{array}} \right| = - 1 \cdot {\left( {1 - a} \right)^2}\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {1 + a}&1 \\ 1&{ - 1} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= - {\left( {1 - a} \right)^2}\left( { - 1 - a - 1} \right) = - {\left( {1 - a} \right)^2}\left( { - 2 - a} \right) = {\left( {1 - a} \right)^2}\left( {2 + a} \right) \\ & \\ &{\left( {1 - a} \right)^2}\left( {2 + a} \right) = 0 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {1 - a = 0}&{2 + a = 0} \\ {a = 1}&{a = - 2} \end{array}\end{aligned}$

Пр.4)

$\begin{aligned}&\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x - 3}&{x + 2}&{x - 1} \\ {x + 2}&{x - 4}&x \\ {x - 1}&{x + 4}&{x - 5} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x - 3}&{x + 2}&{x - 1} \\ {x + 2 - x + 3}&{x - 4 - x - 2}&{x - x + 1} \\ {x - 1 - x + 3}&{x + 4 - x - 2}&{x - 5 - x + 1} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x - 3}&{x + 2}&{x - 1} \\ 5&{ - 6}&1 \\ 2&2&{ - 4} \end{array}} \right| = 2 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x - 3}&{x + 2}&{x - 1} \\ 5&{ - 6}&1 \\ 1&1&{ - 1} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= 2 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x - 3}&{x + 2 - x + 3}&{x - 1 + 2x - 6} \\ 5&{ - 11}&{11} \\ 1&0&0 \end{array}} \right| = 2 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 5&{3x - 7} \\ { - 11}&{11} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= 22 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 5&{3x - 7} \\ { - 1}&1 \end{array}} \right| = 22\left( {5 + 3x - 7} \right) = 22\left( {3x - 2} \right) \\ & \\ &22\left( {3x - 2} \right) = 0 \\ &3x - 2 = 0 \\ &3x = 2 \\ &x = \frac{2}{3}\end{aligned}$

Ово су једначине у којима је непозната у више елемената детерминанте, понекад у свим. Циљ је да се непозната уклони из што више елемената пре развијања. Кад од друге врсте одузмете прву, изрази као $(x + 2) - (x - 3) = 5$ постају бројеви. Ако је збир елемената у свакој врсти исти, додајте другу и трећу колону првој и извуците тај збир: тако се добија $\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a + 2)(a - 1)^2$ .

Затим развијте по врсти или колони са нулама и решите добијену једначину. На крају решење уврстите у полазну детерминанту, јер се при сређивању лако погреши у знаку.

Слободни члан k10

Детерминанта 42 − 3k: 12
Растојање праве r од тачке S: 1,26

Мењајте

k

: права

r

се помера паралелно самој себи. Детерминанта је нула тачно за

k = 14

, када права

r

пролази кроз тачку

S(4, 6)

, пресек правих

p

и

q

.

Урбанисти и геодети услов да се три праве, на пример три улице на плану, секу у истој тачки записују као једначину са детерминантом.

Три улице, један кружни ток

Урбанисти у Новом Саду планирају кружни ток у ком се састају три праве улице. На плану, где је јединица 100 m, оса $x$ иде ка истоку, а оса $y$ ка северу, улице леже на правама $x + y - 10 = 0$ , $2x - y - 2 = 0$ и $x - 3y + k = 0$ . Три праве, од којих се прве две секу, пролазе кроз исту тачку тачно кад је детерминанта њихових коефицијената нула. Колико мора бити $k$ и где ће бити кружни ток?

Решење

Услов: $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -10 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & -3 & k \end{vmatrix} = 0$ .
Од друге врсте одузмемо двоструку прву, а од треће прву: $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -10 \\ 0 & -3 & 18 \\ 0 & -4 & k + 10 \end{vmatrix} = 0$ .
Развијамо по првој колони: $1 \cdot \big(-3(k + 10) - 18 \cdot (-4)\big) = -3k - 30 + 72 = 42 - 3k$ .
Из $42 - 3k = 0$ следи $k = 14$ .
Пресек прве две улице: сабирањем $x + y = 10$ и $2x - y = 2$ добијамо $3x = 12$ , па је $x = 4$ и $y = 6$ . Провера у трећој: $4 - 18 + 14 = 0$ .

Одговор: Мора бити $k = 14$ , а кружни ток је у тачки $(4, 6)$ , односно 400 m источно и 600 m северно од почетка плана.

Задатак за вежбу

Решите једначину $\begin{vmatrix} a & 2 & 2 \\ 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a \end{vmatrix} = 0$ .

Прикажи решење

Кад другу и трећу колону додамо првој, у првој колони свуда стоји $a + 4$ . Извлачењем и одузимањем прве врсте од осталих добијамо $(a + 4)(a - 2)^2 = 0$ , па је $a = -4$ или $a = 2$ .