Крамерово правило

Крамерово правило, дефиниција.

Крамерово правило решава систем у ком је једначина онолико колико и непознатих. За систем $a_1x + b_1y = c_1$ , $a_2x + b_2y = c_2$ израчунајте детерминанту система $D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ и детерминанте $D_x$ и $D_y$ , које настају кад се колона коефицијената уз ту непознату замени колоном слободних чланова. Ако је $D \neq 0$ , решење је јединствено: $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$ . Исто важи за три непознате, уз $D_z$ .

Ако је $D = 0$ , а бар једна од осталих детерминанти није нула, систем нема решења. Ако су све нуле, систем решите Гаусовим поступком. Пре рачуна пребаците слободне чланове на десну страну.

x+y=x+y=

D =

3223

= 5

D_x =

2600224003

= 3000

D_y =

3260022400

= 2000

x = D_x / D = 3000 / 5 = 600

y = D_y / D = 2000 / 5 = 400

Решење: x = 600, y = 400.

Детерминанта система D: 5
Карта за одрасле: 600 дин.
Карта за дете: 400 дин.
Број решења: 1

У

D_x

колона уз

x

замењена је износима 2600 и 2400, а у

D_y

колона уз

y

. Упишите у другу врсту 6 и 4, као да је друге суботе дошло двоструко више одраслих и деце него прве:

D

постаје 0, а

D_x

није, па систем нема решења.

Системи линеарних једначина описују цене, мешавине и електрична кола. За две или три непознате Крамерово правило даје решење у неколико корака и одмах показује да ли је оно јединствено.

Карте за базен

Породица из Ниша иде суботом на базен. Прве суботе платили су улаз за троје одраслих и двоје деце 2600 динара, а друге суботе за двоје одраслих и троје деце 2400 динара. Колико кошта карта за одраслу особу, а колико за дете?

Решење

Нека је $x$ цена карте за одраслу особу, а $y$ за дете: $3x + 2y = 2600$ , $2x + 3y = 2400$ .
$D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 4 = 5 \neq 0$ , па је решење јединствено.
$D_x = \begin{vmatrix} 2600 & 2 \\ 2400 & 3 \end{vmatrix} = 7800 - 4800 = 3000$ и $D_y = \begin{vmatrix} 3 & 2600 \\ 2 & 2400 \end{vmatrix} = 7200 - 5200 = 2000$ .
$x = \frac{3000}{5} = 600$ , $y = \frac{2000}{5} = 400$ . Провера: $3 \cdot 600 + 2 \cdot 400 = 2600$ .

Одговор: Карта за одраслу особу кошта 600 динара, а за дете 400 динара.

Задатак за вежбу

Решите Крамеровим правилом систем $2x - y = 7$ , $x + 3y = 7$ .

Прикажи решење

$D = 6 + 1 = 7$ , $D_x = 21 + 7 = 28$ , $D_y = 14 - 7 = 7$ , па је $x = 4$ и $y = 1$ .