Купа – примери 1

Површина и запремина купе. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Угао при врху осног пресека купе је прав, а површина пресека је $18c{m^2}$ . Наћи површину и запремину купе.

Пр.2) Дужина висине и изводнице купе се односе 4:5. Запремина купе је $96\pi c{m^3}$ . Израчунати површину ове купе.

Пр.1)

371

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{P_{op}} = \frac{{{s^2}}}{2} \\ &18 = \frac{{{s^2}}}{2} \\ &{s^2} = 36 \\ &s = 6\end{aligned} &{}&\begin{aligned}&r = H = \frac{d}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \\ &r = \frac{{6\sqrt 2 }}{2} \\ &r = 3\sqrt 2 \\ &H = 3\sqrt 2\end{aligned} \end{array}$

$\begin{aligned}&P = B + M \\ &P = {r^2}\pi + rs\pi \\ &P = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2}\pi + 3\sqrt 2 \cdot 6\pi \\ &P = 9 \cdot 2\pi + 18\sqrt 2 \pi \\ &P = 18\pi + 18\sqrt 2 \pi \\ &P = 18\pi \left( {1 + \sqrt 2 } \right)c{m^2}\end{aligned}$

Пр.2)

341

$\begin{aligned}&H:s = 4:5 \Rightarrow 49 = sH \Rightarrow s = \frac{5}{4}H \\ &{s^2} = {H^2} + {r^2} \\ &{\left( {\frac{5}{4}H} \right)^2} = {H^2} + {r^2} \\ &{r^2} = {\left( {\frac{5}{4}H} \right)^2} - {H^2} \\ &{r^2} = \frac{{9{H^2}}}{{16}} \\ &r = \frac{{3H}}{4} \\ & \\ &V = \frac{1}{3}B \cdot H \\ &V = \frac{1}{3}{r^2}\pi \cdot H \\ &96\pi = \frac{1}{3}{\left( {\frac{{3H}}{4}} \right)^2}\pi \cdot H \\ &96 = \frac{1}{3} \cdot \frac{{9{H^2}}}{{16}}H \\ &96 = \frac{{3H3}}{{16}} \\ &3{H^3} = 1536 \\ &{H^3} = 512 \\ &H = 8cm \\ & \\ &s = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10cm \\ &r = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6cm \\ & \\ &P = B + M \\ &P = {r^2}\pi + rs\pi \\ &P = {6^2}\pi + 6 \cdot 10\pi \\ &P = 36\pi + 60\pi \\ &P = 96\pi c{m^2}\end{aligned}$

Купа има површину $P = r^2\pi + r\pi s = r\pi(r + s)$ и запремину $V = \frac{1}{3}r^2\pi H$ , а полупречник $r$ , висина $H$ и изводница $s$ граде правоугли троугао: $s^2 = r^2 + H^2$ . Осни пресек је једнакокраки троугао са основицом $2r$ , крацима $s$ и висином $H$ , па му је површина $rH$ .

Кад је угао при врху осног пресека прав, тај троугао је једнакокрако правоугли: $r = H$ , $s = r\sqrt2$ , а површина пресека је $\frac{s^2}{2}$ . Кад је дат однос, на пример $H : s = 4 : 5$ , уведите $H = 4k$ и $s = 5k$ ; из Питагорине теореме је $r = 3k$ , па запремина даје једначину по $k$ . Честа грешка: у омотачу је изводница $s$ , а у запремини висина $H$ .

Полупречник r2 m

Висина H1,5 m

Изводница s: 2,5 m
Однос H : s: 0,6
Угао при врху осног пресека: 106,3°
Запремина V: 6,28 m³

За

r = 2

и

H = 1{,}5

изводница је 2,5 m, па је

H : s = 3 : 5

, као код гомиле песка, а запремина је око 6,3 m³. Изједначите

r

и

H

: угао при врху осног пресека постаје прав.

На градилиштима, у каменоломима и на њивама количина песка, шљунка или зрна у гомили процењује се као запремина купе из висине и ширине гомиле.

Гомила песка

Камион истовари 6 m³ песка, који образује гомилу у облику купе. Висина и изводница гомиле односе се као $3 : 5$ . Колико је гомила висока и колики јој је пречник основе?

Решење

Уводимо $H = 3k$ и $s = 5k$ . Из $s^2 = r^2 + H^2$ следи $r^2 = 25k^2 - 9k^2 = 16k^2$ , па је $r = 4k$ .
Запремина: $V = \frac{1}{3}r^2\pi H = \frac{1}{3} \cdot 16k^2 \cdot \pi \cdot 3k = 16\pi k^3$ .
Из $16\pi k^3 = 6$ следи $k^3 = \frac{6}{16\pi} \approx 0{,}1194$ , па је $k \approx 0{,}492$ m.
Висина: $H = 3k \approx 1{,}48$ m, полупречник: $r = 4k \approx 1{,}97$ m, пречник: $2r \approx 3{,}94$ m.

Одговор: Гомила је висока око 1,48 m, а пречник основе јој је око 3,94 m.

Задатак за вежбу

Осни пресек купе је једнакокрако правоугли троугао чија је хипотенуза, пречник основе, дугачка 10 cm. Израчунајте површину и запремину купе.

Прикажи решење

$r = H = 5$ cm, $s = 5\sqrt2$ cm. $P = 25\pi + 5 \cdot 5\sqrt2\pi = 25\pi(1 + \sqrt2) \approx 189{,}6$ cm², $V = \frac{1}{3} \cdot 25\pi \cdot 5 = \frac{125\pi}{3} \approx 130{,}9$ cm³.