Површина и запремина лопте и лоптиног слоја, решени задаци.
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.1) Лопта полупречника 13cm је пресечена равни која је од центра лопте удаљена 5cm. Израчунати површину и запремину одсечка и исечка лопте који тако настаје.
Пр.2) Пресеци две паралелне равни и лопте имају површине
$49\pi c{m^2}$ и $4\pi c{m^2}$, а растојање између тих равни, које се налазе са различитих страна центра лопте је 9cm. Наћи површину и запремину лопте.
Пр.1)

\[\begin{gathered}
{P_o} = {P_k} + {r^2}\pi \hfill \\
{P_o} = 2R\pi h + {r^2}\pi \hfill \\
\hfill \\
R = 5 + h \hfill \\
13 = 5 + h \hfill \\
h = 8cm \hfill \\
\hfill \\
{R^2} = {r^2} + {5^2} \hfill \\
{13^2} = {r^2} + {5^2} \hfill \\
{r^2} = 169 - 25 \hfill \\
{r^2} = 144 \hfill \\
r = 12cm \hfill \\
\hfill \\
{P_o} = 2 \cdot 13\pi \cdot 8 + 144\pi \hfill \\
{P_o} = 208\pi + 144\pi \hfill \\
{P_o} = 352\pi c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
{V_o} = \frac{1}{3}{h^2}\pi \left( {3R - h} \right) \hfill \\
{V_o} = \frac{1}{3}64\pi \left( {313 - 8} \right) \hfill \\
{V_o} = \frac{{1984}}{3}\pi c{m^3} \hfill \\
\hfill \\
{P_i} = {P_k} + {M_k} \hfill \\
{P_i} = 2R\pi h + rR\pi \hfill \\
{P_i} = 208\pi + 12 \cdot 13\pi \hfill \\
{P_i} = 364\pi c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
{V_i} = \frac{2}{3}{R^2}\pi h = {V_o} + {V_k} \hfill \\
{V_i} = \frac{2}{3}169\pi 8 = \frac{{2704}}{3}\pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.2)

\[\begin{gathered}
h = 9cm \hfill \\
{P_1} = 49\pi c{m^2} \hfill \\
\underline {{P_2} = 4\pi c{m^2}} \hfill \\
{P_l} = ?,{V_l} = ? \hfill \\
\hfill \\
r_1^2\pi = 49\pi \hfill \\
{r_1} = 7cm \hfill \\
r_2^2\pi = 4\pi \hfill \\
{r_2} = 2cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Означимо са $x$ дужину дуже $O{O_1}$, онда дужина дужи $O{O_2}$ је $9-x$.
\[\begin{gathered}
{R^2} = r_1^2 + {x^2} \hfill \\
{R^2} = r_2^2 + {\left( {9 - x} \right)^2} \hfill \\
r_1^2 + {x^2} = r_2^2 + {\left( {9 - x} \right)^2} \hfill \\
49 + {x^2} = 4 + 81 - 18x + {x^2} \hfill \\
18x = 4 + 81 - 49 \hfill \\
18x = 36 \hfill \\
x = 2cm \hfill \\
{R^2} = 49 + 4 \hfill \\
R = \sqrt {53} cm \hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{P_l} = 4{R^2}\pi \hfill \\
{P_l} = 4 \cdot 53\pi \hfill \\
\end{gathered} &{}
\end{array} \hfill \\
{P_l} = 212\pi c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
{V_l} = \frac{4}{3}{R^3}\pi \hfill \\
{V_l} = \frac{4}{3}53\sqrt {53} \pi \hfill \\
{V_l} = \frac{{212\sqrt {53} }}{3}\pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]