Трећи разред средње школе

Троуглови

Четвороуглови 1

Четвороуглови 2

Шестоугао, трапез и круг

Призма

Троугао и трапез – примери

Четвороуглови – примери 1

Четвороуглови – примери 2

Круг – примери

Призма 1

Призма примери 1

Призма примери 2

Призма примери 3

Призма примери 4

Призма примери 5

Пирамида 1

Пирамида 2

Пирамида – примери 1

Пирамида – примери 2

Пирамида – примери 3

Пирамида – примери 4

Пирамида – примери 5

Зарубљена пирамида 1

Зарубљена пирамида 2

Зарубљена пирамида – примери 1

Зарубљена пирамида – примери 2

Ваљак – примери 1

Ваљак – примери 2

Купа – примери 1

Купа – примери 2

Зарубљена купа – примери 1

Лопта и полиедри 1

Лопта и полиедри 2

Лопта – примери 1

Лопта – примери 2

Лопта и полиедри – примери 1

Лопта и полиедри – примери 2

Лопта и полиедри – примери 3

Лопта и полиедри – примери 4

Детерминанте – дефиниција и особине

Детерминанте – примери 1

Детерминанте трећег реда

Детерминанте – Сарусово правило

Детерминанте – примери 2

Детерминанте – примери 3

Крамерово правило

Крамерово правило – примери 1

Крамерово правило – примери 2

Крамерово правило – примери 3

Крамерово правило – примери 4

Крамерово правило – примери 5

Аналитичка геометрија – вектори 1

Аналитичка геометрија – вектори 2

Аналитчка геометрија, вектори – примери 1

Аналитчка геометрија, вектори – примери 2

Аналитчка геометрија, вектори – примери 3

Аналитчка геометрија, вектори – примери 4

Аналитчка геометрија, вектори – примери 5

Аналитчка геометрија, вектори – примери 6

Аналитчка геометрија, вектори – примери 7

Скаларни производ вектора – примери 1

Скаларни производ вектора – примери 2

Скаларни производ вектора – примери 3

Скаларни производ вектора – примери 4

Векторски производ вектора

Векторски производ вектора – примери 1

Векторски производ вектора – примери 2

Векторски производ вектора – примери 3

Векторски производ вектора – примери 4

Мешовит производ вектора

Мешовит производ вектора – примери 1

Мешовит производ вектора – примери 2

Мешовит производ вектора – примери 3

Аналитичка геометрија у равни

Аналитичка геометрија у равни – једначина праве 1

Аналитичка геометрија у равни – једначина праве 2

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 1

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 2

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 3

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 4

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 5

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 6

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 7

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 8

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 9

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 10

Кружница 1

Кружница 2

Скаларни производ вектора

Призма примери 5

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.8) Израчунати површину и запремину правилне четворостране призме чија дијагонала $D$ заклапа са равни бочне стране угао $\alpha$ .

Пр.9) Израчунати површину и запремину правилне шестостране призме чија дужа дијагонала $D$ заклапа угао од ${30^ \circ }$ са бочном ивицом призме.

Пр.8)

218

$\begin{gathered} P = 2B + M \hfill \\ P = 2{a^2} + 4aH \hfill \\ \end{gathered}$

Потребно израчунати страницу $a$ и висину $H$ призме.

У правоуглом троуглу $\vartriangle B{C_1}{D_1}$

$\begin{gathered} \sin \alpha = \frac{a}{D} \hfill \\ a = D\sin \alpha \hfill \\ \cos \alpha = \frac{{{d_n}}}{D} \hfill \\ {d_n} = D\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered}$

У правоуглом троуглу $\vartriangle BC{C_1}$

$\begin{gathered} {H^2} = {d_n}^2 - {a^2} \hfill \\ {H^2} = {\left( {D\cos \alpha } \right)^2} - {\left( {D\sin \alpha } \right)^2} \hfill \\ {H^2} = {D^2}\left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right) \hfill \\ {H^2} = {D^2}\cos 2\alpha \hfill \\ H = D\sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\ P = 2{D^2}{\sin ^2}\alpha + 4D\sin \alpha D\sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\ P = 2{D^2}{\sin ^2}\alpha + 4{D^2}\sin \alpha \sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\ P = 2{D^2}\sin \alpha \left( {\sin \alpha + 2\sqrt {\cos 2\alpha } } \right) \hfill \\ V = BH \hfill \\ V = {a^2}H \hfill \\ V = {D^2}{\sin ^2}\alpha \cdot D\sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\ V = {D^3}{\sin ^2}\alpha \cdot \sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\ \end{gathered}$

Пр.9)

219

$\begin{gathered} P = 2B + M \hfill \\ P = 2 \cdot 6\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 6aH \hfill \\ P = 3 \cdot {a^2}\sqrt 3 + 6aH \hfill \\ \end{gathered}$

Потребно изразити страницу $a$ и висину $H$ призме преко дијагоналу $D$ и угао $\varphi = {30^ \circ }$

У правоуглом троуглу $\vartriangle A{D_1}{A_1}$

$\begin{gathered} \cos {30^ \circ } = \frac{H}{D} \hfill \\ 2H = D\sqrt 3 \hfill \\ H = \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \sin {30^ \circ } = \frac{{2a}}{D} \hfill \\ \frac{1}{2} = \frac{{2a}}{D} \hfill \\ a = \frac{D}{4} \hfill \\ \end{gathered}$

Сад можемо израчунати површину и запремину призме.

$\begin{gathered} P = 3\frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 + 6\frac{D}{4} \cdot \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ P = \frac{{3{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 + 6 \cdot \frac{{{D^2}}}{8}\sqrt 3 \hfill \\ P = \frac{{3{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 + 12 \cdot \frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \hfill \\ P = \frac{{15{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \hfill \\ V = BH \hfill \\ V = 6\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}H \hfill \\ V = 3\frac{{\frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \frac{{D\sqrt 3 }}{2}}}{2} \hfill \\ V = 3\frac{{3{D^3}}}{{32 \cdot 2}} \hfill \\ V = \frac{{9{D^3}}}{{64}} \hfill \\ \end{gathered}$