Решени задаци, правилна четворострана и шестострана призма.
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.8) Израчунати површину и запремину правилне четворостране призме чија дијагонала $D$ заклапа са равни бочне стране угао $\alpha $.
Пр.9) Израчунати површину и запремину правилне шестостране призме чија дужа дијагонала $D$ заклапа угао од ${30^ \circ }$ са бочном ивицом призме.
Пр.8)

\[\begin{gathered}
P = 2B + M \hfill \\
P = 2{a^2} + 4aH \hfill \\
\end{gathered} \]
Потребно израчунати страницу $a$ и висину $H$ призме.
У правоуглом троуглу $\vartriangle B{C_1}{D_1}$
\[\begin{gathered}
\sin \alpha = \frac{a}{D} \hfill \\
a = D\sin \alpha \hfill \\
\cos \alpha = \frac{{{d_n}}}{D} \hfill \\
{d_n} = D\cos \alpha \hfill \\
\end{gathered} \]
У правоуглом троуглу $\vartriangle BC{C_1}$
\[\begin{gathered}
{H^2} = {d_n}^2 - {a^2} \hfill \\
{H^2} = {\left( {D\cos \alpha } \right)^2} - {\left( {D\sin \alpha } \right)^2} \hfill \\
{H^2} = {D^2}\left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right) \hfill \\
{H^2} = {D^2}\cos 2\alpha \hfill \\
H = D\sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\
P = 2{D^2}{\sin ^2}\alpha + 4D\sin \alpha D\sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\
P = 2{D^2}{\sin ^2}\alpha + 4{D^2}\sin \alpha \sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\
P = 2{D^2}\sin \alpha \left( {\sin \alpha + 2\sqrt {\cos 2\alpha } } \right) \hfill \\
V = BH \hfill \\
V = {a^2}H \hfill \\
V = {D^2}{\sin ^2}\alpha \cdot D\sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\
V = {D^3}{\sin ^2}\alpha \cdot \sqrt {\cos 2\alpha } \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.9)

\[\begin{gathered}
P = 2B + M \hfill \\
P = 2 \cdot 6\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 6aH \hfill \\
P = 3 \cdot {a^2}\sqrt 3 + 6aH \hfill \\
\end{gathered} \]
Потребно изразити страницу $a$ и висину $H$ призме преко дијагоналу $D$ и угао $\varphi = {30^ \circ }$
У правоуглом троуглу $\vartriangle A{D_1}{A_1}$
\[\begin{gathered}
\cos {30^ \circ } = \frac{H}{D} \hfill \\
2H = D\sqrt 3 \hfill \\
H = \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
\sin {30^ \circ } = \frac{{2a}}{D} \hfill \\
\frac{1}{2} = \frac{{2a}}{D} \hfill \\
a = \frac{D}{4} \hfill \\
\end{gathered} \]
Сад можемо израчунати површину и запремину призме.
\[\begin{gathered}
P = 3\frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 + 6\frac{D}{4} \cdot \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
P = \frac{{3{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 + 6 \cdot \frac{{{D^2}}}{8}\sqrt 3 \hfill \\
P = \frac{{3{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 + 12 \cdot \frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \hfill \\
P = \frac{{15{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \hfill \\
V = BH \hfill \\
V = 6\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}H \hfill \\
V = 3\frac{{\frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \frac{{D\sqrt 3 }}{2}}}{2} \hfill \\
V = 3\frac{{3{D^3}}}{{32 \cdot 2}} \hfill \\
V = \frac{{9{D^3}}}{{64}} \hfill \\
\end{gathered} \]