Зарубљена пирамида - примери 2
Површина и запремина правилне тростране пирамиде. Решени задаци.
Задаци
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.1) Одреди површину и запремину правилне тростране зарубљене пирамиде чије су основне ивице 6cm и 2cm, а нагиб бочне стране према равни основе ${60^ \circ }$.
Пр.2) Одреди површину и запремину правилне тростране зарубљене пирамиде ако је обим круга уписаног у доњу основу ${O_{U{B_1}}} = 14\sqrt 3 \pi cm$, површина круга описаног око горње основе ${P_{O{B_2}}} = 108c{m^2}$, а нагиб бочне ивице према равни основе ${60^ \circ }$.
Пр.1)
\[\begin{gathered}
\frac{1}{3}{h_a} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{6\sqrt 3 }}{6} = \sqrt 3 \hfill \\
\frac{1}{3}{h_b} = \frac{1}{3}\frac{{b\sqrt 3 }}{2} = \frac{{b\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
\end{gathered} \]
Означимо са $x$ дужину једној катете зеленог троугла:
\[\begin{gathered}
x = \frac{1}{3}{h_a} - \frac{1}{3}{h_b} = \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
\cos {60^ \circ } = \frac{x}{h} \hfill \\
\frac{1}{2} = \frac{{\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}}{h} \hfill \\
h = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}cm \hfill \\
tg{60^ \circ } = \frac{H}{x} \hfill \\
\sqrt 3 = \frac{H}{{\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}} \hfill \\
H = \sqrt 3 \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = 2cm \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
P = {B_1} + {B_2} + M \hfill \\
P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{a + b}}{2}h \hfill \\
P = \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{6 + 2}}{2} \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
P = 9\sqrt 3 + \sqrt 3 + 16\sqrt 3 \hfill \\
P = 26\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}} + {B_2}} \right) \hfill \\
V = \frac{2}{3}\left( {9\sqrt 3 + \sqrt {9\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 } + \sqrt 3 } \right) \hfill \\
V = \frac{{26}}{3}\sqrt 3 c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.2)
\[\begin{gathered}
{O_{U{B_1}}} = 14\sqrt 3 \pi \hfill \\
2{r_u}\pi = 14\sqrt 3 \pi \hfill \\
{r_u} = 7\sqrt 3 cm \hfill \\
{r_u} = \frac{1}{3}{h_a} \hfill \\
\frac{1}{3}{h_a} = 7\sqrt 3 \hfill \\
{h_a} = 21\sqrt 3 cm \hfill \\
\hfill \\
{h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 21\sqrt 3 \hfill \\
a = 42cm \hfill \\
\hfill \\
{P_{O{B_2}}} = 108\pi \hfill \\
r_o^2\pi = 108\pi \hfill \\
{r_o} = 6\sqrt 3 \hfill \\
\hfill \\
{r_o} = \frac{2}{3}{h_b} \hfill \\
\frac{2}{3}{h_b} = 6\sqrt 3 \hfill \\
{h_b} = 9\sqrt 3 cm \hfill \\
{h_b} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
\frac{{b\sqrt 3 }}{2} = 9\sqrt 3 \hfill \\
b = 18cm \hfill \\
\end{gathered} \]
У жутом троуглу:
\[\begin{gathered}
tg{60^ \circ } = \frac{H}{{\frac{2}{3}{h_a} - \frac{2}{3}{h_b}}} \hfill \\
tg{60^ \circ } = \frac{H}{{8\sqrt 3 }} \hfill \\
\sqrt 3 = \frac{4}{{8\sqrt 3 }} \hfill \\
H = 24cm \hfill \\
\end{gathered} \]
У зеленом троуглу:
\[\begin{gathered}
{h^2} = {H^2} + \left( {\frac{1}{3}{h_a} - \frac{1}{3}{h_b}} \right) \hfill \\
{h^2} = {24^2} + {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} \hfill \\
{h^2} = 576 + 48 \hfill \\
{h^2} = 626 \hfill \\
h = 4\sqrt {39} cm \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
P = {B_1} + {B_2} + M \hfill \\
P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{a + b}}{2}h \hfill \\
P = \frac{{1764\sqrt 3 }}{4} + \frac{{324\sqrt 3 }}{4} + 3 \cdot 30 \cdot 4\sqrt {39} \hfill \\
P = 441\sqrt 3 + 81\sqrt 3 + 360\sqrt {39} \hfill \\
P = 522\sqrt 3 + 360\sqrt {39} c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}} + {B_2}} \right) \hfill \\
V = 8\left( {441\sqrt 3 + 189\sqrt 3 + 81\sqrt 3 } \right) \hfill \\
V = 5688\sqrt 3 c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]