Експоненцијалне једначине 3

Решавање експоненцијалне једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијалну једначину.

пр.9) ${9^x} + {6^x} = 2 \cdot {4^x}$

пр.10) $3 \cdot {16^x} + 2 \cdot {81^x} = 5 \cdot {36^x}$

Пр.9

$\begin{aligned}&{9^x} + {6^x} = 2 \cdot {4^x} \\ &{\left( {{3^2}} \right)^x} + {\left( {3 \cdot 2} \right)^x} = 2 \cdot {\left( {{2^2}} \right)^x} \\ &{3^{2x}} + {3^x} \cdot {2^x} = 2 \cdot {2^{2x}}\left| \div \right.{2^{2x}} \\ &\frac{{{3^{2x}}}}{{{2^{2x}}}} + \frac{{{3^x} \cdot {2^x}}}{{{2^{2x}}}} = 2 \\ &{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = 2 \\ &смена:{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = t \\ &{t^2} + t - 2 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 + 8} }}{2} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm 3}}{2} \\ &{t_1} = - 2 \\ &{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = - 2\end{aligned}$

ова експоненцијална једначина нема решења (експоненцијална функција је увек позитивна)

$\begin{aligned}&{t_2} = 1 \\ &{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = 1 \\ &{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^0} \\ &x = 0\end{aligned}$

Пр.10

$\begin{aligned}&3 \cdot {16^x} + 2 \cdot {81^x} = 5 \cdot {36^x} \\ &3 \cdot {4^{2x}} + 2 \cdot {9^{2x}} = 5{\left( {4 \cdot 9} \right)^x} \\ &3 \cdot {4^{2x}} + 2 \cdot {9^{2x}} = 5 \cdot {4^x} \cdot {9^x}\left| { \div {9^{2x}}} \right. \\ &3 \cdot \frac{{{4^{2x}}}}{{{9^{2x}}}} + 2 \cdot \frac{{{9^{2x}}}}{{{9^{2x}}}} = \frac{{5 \cdot {4^x} \cdot {9^x}}}{{{9^{2x}}}} \\ &3 \cdot {\left( {\frac{4}{9}} \right)^{2x}} + 2 = 5{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} \\ &смена:{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} = t \\ &3{t^2} + 2 = 5t \\ &3{t^2} - 5t + 2 = 0 \\ &{t_{1,2}} = \frac{{5 \pm \sqrt {25 - 24} }}{6} \\ &{t_{1,2}} = \frac{{5 \pm 1}}{6} \\ &{t_1} = 1 \\ &{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} = 1 \\ &{2^x} = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^0} \\ &x = 0 \\ &{t_2} = \frac{2}{3} \\ &{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} = \frac{2}{3} \\ &{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} = \frac{2}{3} \\ &2x = 1 \\ &x = \frac{1}{2} \\ &x = \left\{ {0;\frac{1}{2}} \right\}\end{aligned}$

Једначине у којима су степени различитих основа, као $p \cdot 9^x + q \cdot 6^x + r \cdot 4^x = 0$ , решавају се дељењем. Приметите да је $9^x = (3^x)^2$ , $4^x = (2^x)^2$ и $6^x = 3^x \cdot 2^x$ , па су сви чланови „истог степена“: једначина је хомогена. Поделите је са $4^x$ (или са $9^x$ ; ниједан није нула) и добијате $\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}$ и $\left(\frac{3}{2}\right)^x$ . Сменом $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x > 0$ једначина постаје квадратна, а решења $t \leqslant 0$ одбацујете. За остала решења вратите смену и $t$ запишите као степен броја $\frac{3}{2}$ . Кад сваки члан има само једну основу, $p \cdot a^x = q \cdot b^x$ , поделите са $p \cdot b^x$ : $\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{q}{p}$ . Честа грешка: $\frac{9^x}{4^x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}$ , а не $\left(\frac{3}{2}\right)^x$ .

Снимак A првог дана400

Снимак B првог дана900

Дан изједначења: 2
Прегледа тада: 3600

Криве се секу где је

\left(\frac{3}{2}\right)^t = \frac{B_0}{A_0}

. Кад је тај однос тачан степен броја

\frac{3}{2}

, као

\frac{9}{4}

, пресек је у целом дану. Ако снимак

A

почне са више прегледа, пресек је у прошлости,

t < 0

.

Дељењем степена пореде се две величине које расту различитим темпом: однос прегледа два снимка, две популације или две инвестиције после $x$ периода зависи само од $\left(\frac{a}{b}\right)^x$ .

Два видео снимка

Два снимка објављена су истог дана. Првог дана снимак $A$ има 400 прегледа, а снимак $B$ 900. Претпоставимо да се дневни број прегледа снимка $A$ сваког следећег дана утростручи, а снимка $B$ удвостручи. Колико дана касније ће снимци имати исти дневни број прегледа?

Решење

После $t$ дана снимак $A$ има $400 \cdot 3^t$ , а снимак $B$ $900 \cdot 2^t$ прегледа дневно, па решавамо $400 \cdot 3^t = 900 \cdot 2^t$ .
Поделимо са $400 \cdot 2^t$ , што никад није нула: $\left(\frac{3}{2}\right)^t = \frac{900}{400} = \frac{9}{4}$ .
Пошто је $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$ , следи $t = 2$ .
Провера: $400 \cdot 3^2 = 3600$ и $900 \cdot 2^2 = 3600$ .

Одговор: Два дана касније оба снимка имају по 3.600 прегледа дневно, а од тада снимак $A$ води.

Задатак за вежбу

Решите једначину $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 6^x + 3 \cdot 9^x = 0$ .

Прикажи решење

Делимо са $9^x$ и уводимо $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ : $2t^2 - 5t + 3 = 0$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = \frac{3}{2}$ . Из $\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$ следи $x = 0$ , а из $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{3}{2}$ следи $x = -1$ .