Квадратна једначина – растављање на чиниоце

Растављање квадратног тринома на линеарне чиниоце. Извођење и једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1 Растави на чиниоце:

а) ${x^2} - 4x + 3$

б) $2{x^2} + 7x + 3$

Пр.2 Скратити разломак:

$\frac{{3{x^2} + 2x - 8}}{{12{x^2} - 7x - 12}}$

Пр.3 Скратити разломак:

$\frac{{{x^{ - 1}} + 4{x^{ - 2}} + 4{x^{ - 3}}}}{{3 + 8{x^{ - 1}} + 4{x^{ - 2}}}}$

Пр. 1

а)

$a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$

$\begin{aligned}&{x^2} - 4x + 3 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{4 \pm \sqrt {16 - 12} }}{2} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{4 \pm 2}}{2} \\ &{x_1} = 1,{x_2} = 3 \\ &{x^2} - 4x + 3 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\end{aligned}$

б)

$\begin{aligned}&2{x^2} + 7x + 3 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {49 - 24} }}{4} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm 5}}{4} \\ &{x_1} = - 3,{x_2} = - \frac{1}{2} \\ &2{x^2} + 7x + 3 = 2\left( {x - \left( { - 3} \right)} \right)\left( {x - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right) = \\ &= 2\left( {x + 3} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right)\end{aligned}$

Пр.2

$\begin{aligned}&3{x^2} + 2x - 8 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {100} }}{6} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm 10}}{6} \\ &{x_1} = - 2,{x_2} = \frac{4}{3} \\ & \\ &12{x^2} - 7x - 12 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{7 \pm \sqrt {625} }}{{24}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{7 \pm 25}}{{24}} \\ &{x_1} = - \frac{3}{4},{x_2} = \frac{4}{3} \\ & \\ &\frac{{3{x^2} + 2x - 8}}{{12{x^2} - 7x - 12}} = \\ &= \frac{{3\left( {x + 2} \right)\left( {x - \frac{4}{3}} \right)}}{{12\left( {x + \frac{3}{4}} \right)\left( {x - \frac{4}{3}} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{4\left( {x + \frac{3}{4}} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{4x + 3}}\end{aligned}$

Пр.3

$\begin{aligned}&\frac{{{x^{ - 1}} + 4{x^{ - 2}} + 4{x^{ - 3}}}}{{3 + 8{x^{ - 1}} + 4{x^{ - 2}}}} = \frac{{\frac{1}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{x^3}}}}}{{3 + \frac{8}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}}} = \frac{{\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^3}}}}}{{\frac{{3{x^2} + 8x + 4}}{{{x^2}}}}} = \\ &= \frac{{{x^2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{{x^3}\left( {3{x^2} + 8x + 4} \right)}} \\ & \\ &{x^2} + 4x + 4 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 0 }}{2} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{7 \pm 25}}{{24}} \\ &{x_{1,2}} = - 2 \\ & \\ &3{x^2} + 8x + 4 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 8 \pm \sqrt {16} }}{6} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 8 \pm 4}}{6} \\ &{x_1} = - 2,{x_2} = - \frac{2}{3} \\ & \\ &\frac{{{x^2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{{x^3}\left( {3{x^2} + 8x + 4} \right)}} = \\ &= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {3\left( {x + 2} \right)\left( {x + \frac{2}{3}} \right)} \right)}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {3x + 2} \right)}}\end{aligned}$

Ако су $x_1$ и $x_2$ решења једначине $ax^2 + bx + c = 0$ , квадратни трином се раставља на линеарне чиниоце: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Поступак: решите једначину, уврстите решења у формулу и не заборавите водећи коефицијент $a$ . На пример, $3x^2 - 5x - 2$ има нуле $2$ и $-\frac{1}{3}$ , па је $3x^2 - 5x - 2 = 3(x - 2)\left(x + \frac{1}{3}\right) = (x - 2)(3x + 1)$ .

Тако се скраћују разломци: раставите бројилац и именилац и скратите заједнички чинилац, уз услов да није нула. Ако је $D < 0$ , трином се не може раставити на реалне линеарне чиниоце. Честа грешка је знак: нули $x_1 = -3$ одговара чинилац $x + 3$ , а не $x - 3$ .

a−2

x₁4

x₂10

b = −a(x₁ + x₂): 28
c = a · x₁ · x₂: −80

Облик

a(x - x_1)(x - x_2)

и трином

ax^2 + bx + c

дају исту параболу:

b = -a(x_1 + x_2)

и

c = a x_1 x_2

. За

a = -2

,

x_1 = 4

и

x_2 = 10

добијате трином из примера,

-2x^2 + 28x - 80

. Знак параболе између нула је супротан знаку

a

.

Растављен облик одмах показује где израз мења знак: у пословању то су цене при којима посао прелази из губитка у добит, а у физици тренуци кад тело пролази кроз задати положај.

Цена улазнице

Аматерско позориште процењује да ће добит од представе бити $P(x) = -2x^2 + 28x - 80$ хиљада динара ако улазница кошта $x$ стотина динара. Раставите трином на чиниоце и одредите при којим ценама је добит нула, а при којим позориште зарађује.

Решење

Решавамо $-2x^2 + 28x - 80 = 0$ , после дељења са $-2$ : $x^2 - 14x + 40 = 0$ .
$D = 196 - 160 = 36$ , па је $x_{1,2} = \frac{14 \pm 6}{2}$ : $x_1 = 4$ и $x_2 = 10$ .
Са водећим коефицијентом $a = -2$ : $P(x) = -2(x - 4)(x - 10)$ .
За $4 < x < 10$ чинилац $x - 4$ је позитиван, а $x - 10$ негативан, па је производ са $-2$ позитиван: позориште зарађује.

Одговор: $P(x) = -2(x - 4)(x - 10)$ : при ценама од 400 и 1000 динара добит је нула, а између њих позориште је у добити.

Задатак за вежбу

Скратите разломак $\frac{x^2 - 5x + 6}{2x^2 - 5x - 3}$ .

Прикажи решење

Бројилац има нуле 2 и 3: $(x - 2)(x - 3)$ . Именилац има нуле 3 и $-\frac{1}{2}$ : $2(x - 3)\left(x + \frac{1}{2}\right) = (x - 3)(2x + 1)$ . Резултат је $\frac{x - 2}{2x + 1}$ , за $x \ne 3$ и $x \ne -\frac{1}{2}$ .