Квадратна неједначина 1

Квадратна неједначина. Дискриминанта. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1) Решити квадратну неједначину:

$6{x^2} + 7x - 3 > 0$

пр.2) Решити квадратну неједначину:

$- 2{x^2} + 5x - 2 \geqslant 0$

пр.3) Решити квадратну неједначину:

$3{x^2} - 5x + 10 \leqslant 0$

Пр.1

$\begin{aligned}&6{x^2} + 7x - 3 > 0 \\ &6{x^2} + 7x - 3 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {49 + 72} }}{{12}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {121} }}{{12}} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm 11}}{{12}} \\ &{x_1} = - \frac{3}{2},{x_2} = \frac{1}{3}\end{aligned}$

$x \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$

Пр.2

$\begin{aligned}&- 2{x^2} + 5x - 20 \\ &- 2{x^2} + 5x - 2 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {25 - 16} }}{{ - 4}} = \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm 3}}{{ - 4}} \\ &{x_1} = 2,{x_2} = \frac{1}{2}\end{aligned}$

$x \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right]$

Пр.3

$\begin{aligned}&3{x^2} - 5x + 100 \\ &3{x^2} - 5x + 10 = 0 \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {25 - 120} }}{6} \\ &{x_{1,2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {95} }}{{ - 4}} \\ &{x_1} = 2,{x_2} = \frac{1}{2}\end{aligned}$

$x \in \emptyset$

Квадратну неједначину $ax^2 + bx + c > 0$ (или са $<$ , $\geqslant$ , $\leqslant$ ) решавате помоћу параболе. Нађите нуле једначине $ax^2 + bx + c = 0$ и погледајте коефицијент $a$ . Ако је $D > 0$ и $a > 0$ , трином је позитиван изван нула, а негативан између њих; за $a < 0$ је обрнуто. Ако је $D < 0$ , трином за свако $x$ има знак броја $a$ , па је скуп решења $\mathbb{R}$ или $\emptyset$ . Ако је $D = 0$ , трином има знак броја $a$ свуда осим у двострукој нули. Код $\geqslant$ и $\leqslant$ нуле улазе у решење (затворене заграде), а код $>$ и $<$ не улазе. Честа грешка је помножити неједначину негативним бројем, а не окренути знак.

a−1

b12

c−20

D: 64
x₁: 2
x₂: 10

Зелени део осе

x

је скуп решења неједначине

ax^2 + bx + c > 0

: ту је парабола изнад осе. Кад

a

промени знак, решења се преселе из интервала између нула у његову спољашњост. Кад је

D < 0

, решење је цела оса (за

a > 0

) или ниједан број (за

a < 0

).

Квадратне неједначине одређују опсег у ком се нешто исплати или је безбедно: колико производа радионица треба да прода да би имала добит или у ком распону брзина је зауставни пут довољно кратак.

Добит пекаре

Мала пекара у Крагујевцу процењује да јој је дневна добит $P(x) = -x^2 + 12x - 20$ хиљада динара, где је $x$ број продатих векни у стотинама. Колико векни дневно треба да прода да би имала добит?

Решење

Тражимо $x$ за које је $-x^2 + 12x - 20 > 0$ . Нуле: $x^2 - 12x + 20 = 0$ , $D = 144 - 80 = 64$ , па је $x = \frac{12 \pm 8}{2}$ , тј. $x_1 = 2$ и $x_2 = 10$ .
Коефицијент уз $x^2$ је $-1 < 0$ : парабола је отворена наниже, па је трином позитиван између нула.
Решење је $2 < x < 10$ . За $x = 2$ и $x = 10$ добит је тачно нула, а највећа је у темену, $P(6) = 16$ хиљада динара.

Одговор: Пекара има добит кад дневно прода више од 200, а мање од 1.000 векни.

Задатак за вежбу

Решите неједначину $2x^2 - x - 6 \leqslant 0$ .

Прикажи решење

Нуле су $x = \frac{1 \pm 7}{4}$ , тј. $-\frac{3}{2}$ и $2$ . Пошто је $a = 2 > 0$ , трином је негативан између нула, па је $x \in \left[-\frac{3}{2}, 2\right]$ .