Степеновање – решени задаци 1

Примена правила за степеновање на једноставнијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Израчунати:

Пр.1 ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^3} =$

Пр.2 ${\left( { - 2} \right)^4} =$

Пр.3 ${\left( { - 3} \right)^3} =$

Пр.4 ${\left( { - {7^4}} \right)^3} =$

Пр.5 ${\left( { - 4a{b^3}} \right)^2} =$

Пр.6 ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{11}} \cdot {\left( {\frac{8}{{15}}} \right)^{11}} \cdot {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{11}} =$

Пр.7 $\frac{{{4^2} \cdot 81 \cdot {2^3}}}{{{{27}^2} \cdot {2^5} \cdot 4}} =$

Пр. 1

$\begin{aligned}&{\left( {\frac{3}{5}} \right)^3} = \frac{{{3^3}}}{{{5^3}}} = \frac{{27}}{{125}} \\ &\frac{{{3^3}}}{5} = \frac{{3 \cdot 3 \cdot 3}}{5} = \frac{{27}}{5}\end{aligned}$

Пр. 2 ${\left( { - 2} \right)^4} = \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 4 \cdot 4 = 16$

$- {2^4} = - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = - 16$

Пр. 3 ${\left( { - 3} \right)^3} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot \left( { - 3} \right) = - 27$

$- {3^3} = - 27$

Пр. 4 ${\left( { - {7^4}} \right)^3} = - {7^{4 \cdot 3}} = - {7^{12}}$

${\left( {{{\left( { - 7} \right)}^4}} \right)^3} = {\left( { - 7} \right)^{12}} = {7^{12}}$

Пр. 5 ${\left( { - 4a{b^3}} \right)^2} = {\left( { - 4} \right)^2}{a^2}{b^{3 \cdot 2}} = 16{a^2}{b^6}$

${\left( {\frac{{3{a^2}{b^3}}}{{2{x^5}{y^2}}}} \right)^3} = \frac{{{3^3}{{\left( {{a^2}} \right)}^3}{{\left( {{b^3}} \right)}^3}}}{{{2^3}{{\left( {{x^5}} \right)}^3}{{\left( {{y^2}} \right)}^3}}} = \frac{{{3^3}{a^6}{b^9}}}{{{2^3}{x^{15}}{y^6}}}$

Пр. 6 ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{11}} \cdot {\left( {\frac{8}{{15}}} \right)^{11}} \cdot {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{11}} = {\left( {\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{{15}} \cdot \frac{5}{4}} \right)^{11}} = {1^{11}} = 1$

Пр. 7 $\frac{{{4^2} \cdot 81 \cdot {2^3}}}{{{{27}^2} \cdot {2^5} \cdot 4}} = \frac{{{{\left( {{2^2}} \right)}^2} \cdot {3^4} \cdot {2^3}}}{{{2^3}{{\left( {{x^5}} \right)}^3}{{\left( {{y^2}} \right)}^3}}} = \frac{{{2^4} \cdot {3^4} \cdot {2^3}}}{{{3^6} \cdot {2^5} \cdot {2^2}}} = \frac{{{2^7} \cdot {3^4}}}{{{2^7} \cdot {3^6}}} =$

$= \frac{{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}}{{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} = \frac{1}{9}$

Степен разломка рачунате тако што степенујете и бројилац и именилац: $\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$ , док је $\frac{3^3}{5} = \frac{27}{5}$ сасвим други број. Код негативне основе заграда одлучује: $(-2)^4 = 16$ , а $-2^4 = -16$ ; паран изложилац даје позитиван резултат, непаран негативан. Степен производа је производ степена, а степен степена множи изложиоце: $(-4ab^3)^2 = (-4)^2a^2b^{3 \cdot 2} = 16a^2b^6$ . Важи и обрнуто, $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ , што скраћује рачун кад више разломака има исти изложилац. Кад у разломку има степена различитих основа, раставите сваку основу на просте чиниоце ( $4 = 2^2$ , $81 = 3^4$ , $27 = 3^3$ ), саберите изложиоце истих основа, па тек онда скратите. Резултат проверите проценом: позитиван прави разломак степенован изложиоцем већим од 1 постаје мањи, па $\left(\frac{3}{5}\right)^3$ мора бити мање од $\frac{3}{5}$ .

Број одскока n3

Део претходне висине q0,6

qⁿ: 0,216
Висина h = 2 · qⁿ: 0,432 m

Висина после

n

одскока је

2 \cdot q^n

. За

q = 0{,}6 = \frac{3}{5}

и

n = 3

добијате 0,432 m. Што је

q

мање, лопта брже губи висину; са

n = 0

видите почетну висину.

Кад се нека величина више пута заредом смањује или увећава за исти део, на пример висина лопте после сваког одскока или вредност половног аутомобила из године у годину, резултат је степен разломка.

Лопта која одскаче

Гумена лопта пуштена је са висине од 2 m. После сваког одскока досегне $\frac{3}{5}$ претходне висине. Колико високо одскочи после трећег одскока?

Решење

После сваког одскока висина се множи са $\frac{3}{5}$ , па је после три одскока $h = 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^3$ .
Степенујемо и бројилац и именилац: $\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125}$ .
$h = 2 \cdot \frac{27}{125} = \frac{54}{125} = 0{,}432$ m.
Да смо степеновали само бројилац, добили бисмо $2 \cdot \frac{27}{5} = 10{,}8$ m, а лопта не може да одскочи више него што је пуштена.

Одговор: После трећег одскока лопта досегне висину од 0,432 m, око 43 cm.

Задатак за вежбу

Израчунајте $\left(-\frac{2}{3}\right)^4$ , $-\frac{2^4}{3}$ и $\left(-\frac{2}{3}\right)^3$ .

Прикажи решење

$\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$ (паран изложилац), $-\frac{2^4}{3} = -\frac{16}{3}$ (степенује се само 2) и $\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}$ (непаран изложилац).