Аналитчка геометрија, вектори – примери 2

Вектор између две тачке, интензитет вектора, сабирање и одузимање вектора, множење вектора скаларом. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4) Одредити темена $B$ , $C$ , $D$ и пресек дијагонала $T$ паралелограма

$ABCD$ , ако је $A\left( {2, - 1,5} \right)$ , $\overrightarrow {AB} = \left( {1,3,1} \right)$ и $\overrightarrow {AD} = \left( {1, - 5,3} \right)$

Пр.4)

390 png

$\begin{aligned}&\overrightarrow {AB} = B - A \\ &B = \overrightarrow {AB} + A \\ &B = \left( {1;3;1} \right) + \left( {2; - 1;5} \right) \\ &B = \left( {3;2;6} \right) \\ &\overrightarrow {AD} = D - A \\ &D = \overrightarrow {AD} + A \\ &D = \left( {1; - 5;3} \right) + \left( {2; - 1;5} \right) \\ &D = \left( {3; - 6;8} \right) \\ &\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \\ &\overrightarrow {DC} = \left( {1;3;1} \right) \\ &\overrightarrow {DC} = C - D \\ &C = \overrightarrow {DC} + D \\ &C = \left( {1;3;1} \right) + \left( {3; - 6;8} \right) \\ &C = \left( {4; - 3;9} \right) \\ &\overrightarrow {AC} = C - A \\ &\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 2;4} \right) \\ &\overrightarrow {AT} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\ &\overrightarrow {AT} = \frac{1}{2}\left( {2; - 2;4} \right) \\ &\overrightarrow {AT} = \left( {1; - 1;2} \right) \\ &\overrightarrow {AT} = T - A \\ &T = \overrightarrow {AT} + A \\ &T = \left( {1; - 1;2} \right) + \left( {2; - 1;5} \right) \\ &T = \left( {3; - 2;7} \right)\end{aligned}$

Ови задаци користе једнакост вектора: вектори су једнаки ако су им једнаке координате. У паралелограму $ABCD$ важи $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ , а дијагонала је збир страница: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ . Кад знате теме и вектор, друго теме је $B = A + \overrightarrow{AB}$ . Дијагонале паралелограма се полове, па је њихов пресек $T = A + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ , што је исто што и средиште дужи $AC$ : $T = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2}\right)$ .

Пазите на редослед темена: $C$ је наспрам $A$ , а не суседно теме. Скица помаже да се не замене $\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{CD}$ , а провера $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ на крају открива грешку у рачуну.

Висина горње ивице1,5

Искошење горње ивице0,5

AT: 2,57
TC: 2,57
BT: 2,15
TD: 2,15

Тачка

T

је увек средиште обе дијагонале:

AT = TC

и

BT = TD

, ма како подигли или искосили горњу ивицу. Ово је умањени модел, а не бројеви из примера.

Програми за пројектовање и 3D графику из једног темена и вектора две ивице рачунају остала темена и средиште паралелограма, на пример соларног панела или прозора на косом крову.

Соларни панел на крову

Монтер поставља правоугаони соларни панел на кос кров куће у Зрењанину. У координатном систему у центиметрима, доњи угао панела је $A(0, 0, 300)$ , доња ивица је вектор $\overrightarrow{AB} = (160, 0, 0)$ , а бочна ивица уз кров $\overrightarrow{AD} = (0, 80, 60)$ . Одредите остала темена панела и тачку $T$ у којој се секу дијагонале, где долази средњи носач.

Решење

$B = A + \overrightarrow{AB} = (160, 0, 300)$ и $D = A + \overrightarrow{AD} = (0, 80, 360)$ .
У паралелограму је $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ , па је $C = D + \overrightarrow{AB} = (160, 80, 360)$ .
Дијагонала: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (160, 80, 60)$ .
Дијагонале се полове: $T = A + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = (0, 0, 300) + (80, 40, 30) = (80, 40, 330)$ .

Одговор: Темена су $B(160, 0, 300)$ , $C(160, 80, 360)$ и $D(0, 80, 360)$ , а носач долази у тачку $T(80, 40, 330)$ , у центиметрима.

Задатак за вежбу

Паралелограм $ABCD$ има теме $A(1, 0, -2)$ , а $\overrightarrow{AB} = (3, 1, 2)$ и $\overrightarrow{AD} = (-1, 5, 0)$ . Одредите теме $C$ и пресек дијагонала $S$ .

Прикажи решење

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (2, 6, 2)$ , па је $C = (3, 6, 0)$ и $S = A + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = (2, 3, -1)$ .