Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 2

Подела дужи у размери. Троугао: дужине страница, дужина тежишних дужи, тежиште, површина троугла.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3) Дате су тачке $A\left( {1,1} \right)$ , $B\left( {6, - 4} \right)$ и $C\left( {7,1} \right)$ .

Одредити тачку $D$ која дуж $AB$ дели у односу 2:3 и тачку $E$ која

полови дуж $CD$ .

Пр.4) Дата су темена троугла $A\left( {1, - 1} \right)$ , $B\left( {5, - 3} \right)$ и $C\left( {3,3} \right)$ .

Одреди дужине страница троугла, дужине тежишних дужи,

координате тежишта, површину и висине троугла.

Пр.3)

405 png

$\begin{aligned}&D\left( {\frac{{1 \cdot 3 + 6 \cdot 2}}{{2 + 3}},\frac{{1 \cdot 3 + \left( { - 4} \right) \cdot 2}}{{2 + 3}}} \right) \\ &D\left( {3, - 1} \right) \\ & \\ &E\left( {\frac{{7 + 3}}{2},\frac{{1 - 1}}{2}} \right) \\ &E\left( {5,0} \right)\end{aligned}$

Пр.4)

406 png

$\begin{aligned}&a = \left| {BC} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_C}} \right)}^2}} = \\ &= \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \\ &= \sqrt {40} = 2\sqrt {10} \\ &b = \left| {AC} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_C}} \right)}^2}} = \\ &= \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \\ &= \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \\ &c = \left| {BA} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} = \\ &= \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \\ &= \sqrt {32} = 4\sqrt 2\end{aligned}$

Тачка $D$ која дели дуж $AB$ у односу $m : n$ , рачунајући од $A$ , има координате $D\left(\frac{n x_A + m x_B}{m + n}, \frac{n y_A + m y_B}{m + n}\right)$ ; средиште је посебан случај, однос $1 : 1$ .

За троугао задат теменима рачунате редом: странице по формули за растојање, средишта и тежишне дужи, тежиште $T\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ , површину $P = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$ и висине из $P = \frac{a h_a}{2}$ , тј. $h_a = \frac{2P}{a}$ . Висина је најкраће растојање темена од праве на којој лежи наспрамна страница. Честа грешка је да се у формули за поделу дужи бројеви $m$ и $n$ замене местима: уз $x_A$ стоји $n$ , а уз $x_B$ стоји $m$ .

|AB|: 10
Површина P: 25
Висина из C = 2P : |AB|: 5

Испрекидана дуж је најкраћи пут од села

C

до магистрале, нормалан на њу. Њена дужина је увек

h_c = \frac{2P}{|AB|}

; кад подножје изађе ван дужи

AB

, најкраћи пут до самог пута води до ближе раскрснице.

Висина троугла је најкраће растојање темена од наспрамне странице: тако пројектанти налазе најкраћи прикључни пут од насеља до магистрале или најкраћи вод од куће до цеви.

Пут од села до магистрале

Магистрални пут иде право између раскрсница $A(1, -1)$ и $B(9, 5)$ , а село је у тачки $C(2, 6)$ ; јединица на мапи је 1 km. Колико је дугачак најкраћи прикључни пут од села до магистрале?

Решење

Најкраћи пут је нормалан на $AB$ , па је његова дужина висина $h_c$ троугла $ABC$ .
$|AB| = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ .
$P = \frac{1}{2}|1 \cdot (5 - 6) + 9 \cdot (6 + 1) + 2 \cdot (-1 - 5)| = \frac{1}{2}|-1 + 63 - 12| = 25$ .
$h_c = \frac{2P}{|AB|} = \frac{50}{10} = 5$ . Подножје висине је тачка $(5, 2)$ , средиште дужи $AB$ , па се прикључак спаја са магистралом између раскрсница.

Одговор: Најкраћи прикључни пут од села до магистрале дугачак је 5 km.

Задатак за вежбу

Дате су тачке $A(-2, 3)$ , $B(8, -2)$ и $C(6, 4)$ . Одредите тачку $D$ која дели дуж $AB$ у односу $3 : 2$ и средиште $E$ дужи $CD$ .

Прикажи решење

$D\left(\frac{2 \cdot (-2) + 3 \cdot 8}{5}, \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2)}{5}\right) = D(4, 0)$ , а $E\left(\frac{6 + 4}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = E(5, 2)$ .