Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Аналитичка геометрија у равни – решени задаци 7

Међусобни положај правих. Угао између две праве, услов паралелености и услов нормалности. Примена на троугао. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4)   Наћи једначину праве која пролази кроз пресечну тачку правих

           l:2x+3y−7=0l:2x + 3y - 7 = 0 и m:x+2y−5=0m:x + 2y - 5 = 0 и нормална је на праву

           q:x−y+7=0q:x - y + 7 = 0.

Пр.5)   Одредити једначине висина и координате ортоцентра троугла

            ако су дате једначине страница: 

            a:3x−y−18=0a:3x - y - 18 = 0     b:x−y−2=0b:x - y - 2 = 0    c:x+2y+1=0c:x + 2y + 1 = 0.

Пр.4)

412 png

{N(x,y)}=l∩ml:2x+3y=7m:x+2y=5‾−y=−3x+2y=5‾y=3x+6=5‾y=3x=−1N(−1,3)n:y=knx+nn⊥q⇔kn=−1kqq:−y=−x−7q:y=x+7⇒kq=1kn=−1kq=−11=−1n:y=−x+nN∈n:3=−(−1)+nn=2n:y=−x+2\begin{aligned}&\left\{ {N\left( {x,y} \right)} \right\} = l \cap m \\ & \\ &l:2x + 3y = 7 \\ &\underline {m:x + 2y = 5} \\ &- y = - 3 \\ &\underline {x + 2y = 5} \\ &y = 3 \\ &\underline {x + 6 = 5} \\ &y = 3 \\ &x = - 1 \\ &N\left( { - 1,3} \right) \\ & \\ &n:y = {k_n}x + n \\ &n \bot q \Leftrightarrow {k_n} = - \frac{1}{{{k_q}}} \\ & \\ &q: - y = - x - 7 \\ &q:y = x + 7 \Rightarrow {k_q} = 1 \\ & \\ &{k_n} = - \frac{1}{{{k_q}}} = - \frac{1}{1} = - 1 \\ &n:y = - x + n \\ &N \in n:3 = - \left( { - 1} \right) + n \\ &n = 2 \\ &n:y = - x + 2\end{aligned}

Пр.5)

414 png

{C}=a∩ba:3x − y − 18 = 0b:x − y − 2 = 0‾2x=16x−8x−y=2‾x=88−y=2‾x=8y=6C(8,6)hc:y=kx+nhc⊥c⇔khc=−1kcc:2y=−x−1c:y=−12x−12;kc=−12khc=−1−12=2hc:y=2x+nC∈hc⇒6=2⋅8+n⇒n=−10hc:y=2x−10{A}=b∩cb:x − y − 2 = 0c:x + 2y + 1 = 0‾3y=−3x−y=2‾y=−1x+1=2‾x=1y=−1A(1,−1)ha:y=kx+nha⊥a⇔kha=−1kaa:−y=−3x+18a:y=3x−18;ka=3kha=−13ha:y=−13x+nA∈ha⇒−1=−13x+n⇒n=−23ha:y=−13x−23{H}=ha∩hcha:y=−13x−23hc:y=2x−10‾−13x−23y=2x−10−x−2=6x−30−7x=−28x=4y=2⋅4−10=−2H(4,−2)\begin{aligned}&\left\{ C \right\} = a \cap b \\ &a:3x{\text{ }} - {\text{ }}y{\text{ }} - {\text{ }}18{\text{ }} = {\text{ }}0 \\ &\underline {b:x{\text{ }} - {\text{ }}y{\text{ }} - {\text{ }}2{\text{ }} = {\text{ }}0} \\ &2x = 16x - 8 \\ &\underline {x - y = 2} \\ &x = 8 \\ &\underline {8 - y = 2} \\ &x = 8 \\ &y = 6 \\ &C\left( {8,6} \right) \\ & \\ &{h_c}:y = kx + n \\ &{h_c} \bot c \Leftrightarrow {k_{{h_c}}} = - \frac{1}{{{k_c}}} \\ &c:2y = - x - 1 \\ &c:y = - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2};{k_c} = - \frac{1}{2} \\ &{k_{{h_c}}} = - \frac{1}{{ - \frac{1}{2}}} = 2 \\ &{h_c}:y = 2x + n \\ &C \in {h_c} \Rightarrow 6 = 2 \cdot 8 + n \Rightarrow n = - 10 \\ &{h_c}:y = 2x - 10 \\ & \\ &\left\{ A \right\} = b \cap c \\ &b:x{\text{ }} - {\text{ }}y{\text{ }} - {\text{ }}2{\text{ }} = {\text{ }}0 \\ &\underline {c:x{\text{ }} + {\text{ }}2y{\text{ }} + {\text{ }}1{\text{ }} = {\text{ }}0} \\ &3y = - 3 \\ &\underline {x - y = 2} \\ &y = - 1 \\ &\underline {x + 1 = 2} \\ &x = 1 \\ &y = - 1 \\ &A\left( {1, - 1} \right) \\ &{h_a}:y = kx + n \\ &{h_a} \bot a \Leftrightarrow {k_{{h_a}}} = - \frac{1}{{{k_a}}} \\ &a: - y = - 3x + 18 \\ &a:y = 3x - 18;{k_a} = 3 \\ &{k_{{h_a}}} = - \frac{1}{3} \\ &{h_a}:y = - \frac{1}{3}x + n \\ &A \in {h_a} \Rightarrow - 1 = - \frac{1}{3}x + n \Rightarrow n = - \frac{2}{3} \\ &{h_a}:y = - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \\ & \\ &\left\{ H \right\} = {h_a} \cap {h_c} \\ &{h_a}:y = - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \\ &\underline {{h_c}:y = 2x - 10} \\ &- \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}y = 2x - 10 \\ &- x - 2 = 6x - 30 \\ &- 7x = - 28 \\ &x = 4 \\ &y = 2 \cdot 4 - 10 = - 2 \\ &H\left( {4, - 2} \right)\end{aligned}

Пресечну тачку две праве налазите решавањем система њихових једначина, сабирањем или заменом. Права нормална на праву са коефицијентом kk има коефицијент −1k-\frac{1}{k}, јер за нормалне праве важи k1k2=−1k_1k_2 = -1. Права кроз тачку N(x0,y0)N(x_0, y_0) нормална на дату праву је y−y0=−1k(x−x0)y - y_0 = -\frac{1}{k}(x - x_0).

Кад су задате праве на којима леже странице троугла, темена су пресеци по две странице. Висина из темена AA пролази кроз AA и нормална је на наспрамну страницу aa. Ортоцентар HH је пресек две висине, а трећа служи као провера. Честа грешка је да се висина из AA повуче нормално на погрешну страницу: она је увек нормална на страницу наспрам темена.

123456−112340xylmqN
Коефицијент пруге
−0,33
Коефицијент новог пута
3
Њихов производ
−1
Дужина новог пута
1,9 km
Зелена дуж је нови пут од раскрснице NN до пруге qq. Ма како окренули пругу, производ коефицијената правца пута и пруге остаје −1-1, а дужина пута је најмање растојање тачке NN од пруге.

Најкраћа веза од тачке до пута, пруге или цеви увек је нормална на њу, па пројектанти саобраћајница и инсталација тако задају прикључке на плану.

Пут до пруге

На плану са јединицом 1 km два пута леже на правама l:2x+y−8=0l: 2x + y - 8 = 0 и m:x−y−1=0m: x - y - 1 = 0, а пруга на правој q:x+3y−3=0q: x + 3y - 3 = 0. Од раскрснице путева ll и mm гради се нов пут до пруге, нормалан на њу. Напишите његову једначину и израчунајте колико је дугачак.

Решење

  1. Раскрсница: сабирањем 2x+y=82x + y = 8 и x−y=1x - y = 1 добијамо 3x=93x = 9, па је x=3x = 3, y=2y = 2, тачка N(3,2)N(3, 2).
  2. Из qq: y=−13x+1y = -\frac{1}{3}x + 1, па је kq=−13k_q = -\frac{1}{3}, а нормала на пругу има k=3k = 3.
  3. Нови пут: y−2=3(x−3)y - 2 = 3(x - 3), односно y=3x−7y = 3x - 7, тј. 3x−y−7=03x - y - 7 = 0.
  4. Пресек са пругом: из x+3(3x−7)=3x + 3(3x - 7) = 3 следи x=2,4x = 2{,}4 и y=0,2y = 0{,}2. Дужина пута је 0,62+1,82=3,6≈1,90\sqrt{0{,}6^2 + 1{,}8^2} = \sqrt{3{,}6} \approx 1{,}90.

Одговор: Нови пут лежи на правој 3x−y−7=03x - y - 7 = 0, до пруге стиже у тачки (2,4; 0,2)(2{,}4;\ 0{,}2) и дугачак је око 1,9 km.

Задатак за вежбу

Странице троугла ABCABC леже на правама AB:y=0AB: y = 0, BC:x+y−6=0BC: x + y - 6 = 0 и AC:y=2xAC: y = 2x. Одредите темена, висине из AA и из CC и ортоцентар.

Прикажи решење

Темена: A(0,0)A(0, 0), B(6,0)B(6, 0), C(2,4)C(2, 4). Висина из CC нормална је на ABAB: x=2x = 2. Висина из AA нормална је на BCBC, са k=1k = 1: y=xy = x. Ортоцентар је H(2,2)H(2, 2).