Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Детерминанте – примери 1

Детерминанте, решени задаци, једноставни примери који објашњавају особине.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Решити следећу детерминанту.

∣3−721∣=3⋅1−2⋅(−7)=3+14=17\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 3&{ - 7} \\ 2&1 \end{array}} \right| = 3 \cdot 1 - 2 \cdot \left( { - 7} \right) = 3 + 14 = 17

Пр.2)   

∣12−981∣=∣4⋅3−94⋅21∣=4∣3⋅13⋅(−3)21∣==4⋅3∣1−321∣=12⋅(1+6)=12⋅7=84\begin{aligned}&\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {12}&{ - 9} \\ 8&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {4 \cdot 3}&{ - 9} \\ {4 \cdot 2}&1 \end{array}} \right| = 4\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {3 \cdot 1}&{3 \cdot \left( { - 3} \right)} \\ 2&1 \end{array}} \right| = \\ & \\ &= 4 \cdot 3\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&{ - 3} \\ 2&1 \end{array}} \right| = 12 \cdot \left( {1 + 6} \right) = 12 \cdot 7 = 84\end{aligned}

Пр.3)   

∣57295428∣=∣3⋅19293⋅1828∣=3⋅∣19291828∣==3∣19−1829−181828∣=3⋅∣111828∣=3(28−18)=30\begin{aligned}&\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {57}&{29} \\ {54}&{28} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {3 \cdot 19}&{29} \\ {3 \cdot 18}&{28} \end{array}} \right| = 3 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {19}&{29} \\ {18}&{28} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= 3\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {19 - 18}&{29 - 18} \\ {18}&{28} \end{array}} \right| = 3 \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1 \\ {18}&{28} \end{array}} \right| = 3\left( {28 - 18} \right) = 30\end{aligned}

Пр.4)   

∣108−4−542∣=∣27⋅4−427(−2)2∣=27∣4−4−22∣==27⋅4⋅2∣1−1−11∣=27⋅4⋅2⋅(1−1)=0\begin{aligned}&\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {108}&{ - 4} \\ { - 54}&2 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {27 \cdot 4}&{ - 4} \\ {27\left( { - 2} \right)}&2 \end{array}} \right| = 27\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 4&{ - 4} \\ { - 2}&2 \end{array}} \right| = \\ & \\ &= 27 \cdot 4 \cdot 2\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&{ - 1} \\ { - 1}&1 \end{array}} \right| = 27 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \left( {1 - 1} \right) = 0\end{aligned}

Пр.5)

∣xx+1−43x+3∣=0∣xx+1−43(x+1)∣=0(x+1)∣x1−43∣=0(x+1)(3x+4)=0x+1=03x+4=0x=−1x=−43\begin{aligned}&\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x&{x + 1} \\ { - 4}&{3x + 3} \end{array}} \right| = 0 \\ & \\ &\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x&{x + 1} \\ { - 4}&{3\left( {x + 1} \right)} \end{array}} \right| = 0 \\ & \\ &\left( {x + 1} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x&1 \\ { - 4}&3 \end{array}} \right| = 0 \\ & \\ &\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) = 0 \\ & \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x + 1 = 0}&{3x + 4 = 0} \\ {x = - 1}&{x = - \frac{4}{3}} \end{array}\end{aligned}

У овим примерима детерминанте другог реда рачунају се помоћу особина, пре него што се примени ∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc. Из врсте или колоне извуците заједнички чинилац, на пример ∣154103∣=5∣3423∣=5\begin{vmatrix} 15 & 4 \\ 10 & 3 \end{vmatrix} = 5\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 5. Од једне врсте одузмите другу да бисте добили мале бројеве или јединицу. Ако после извлачења чинилаца две врсте постану пропорционалне, детерминанта је нула без рачунања.

У једначини облика детерминанта =0= 0 прво извуците заједнички чинилац са непознатом, као x+1x + 1, па искористите да је производ нула кад је један чинилац нула. Пазите на знак кад је један број негативан: ∣4−523∣=12+10=22\begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 12 + 10 = 22.

D =
D= ad − bc = 120·80 − 45·200= 9600 − 9000 = 600

Детерминанта D = 600.

Детерминанта
600
Врсте су помераји аутомобила из примера. Упишите 75 уместо 80: врсте постају пропорционалне, детерминанта је 0 и аутомобил вози право. Са 70 детерминанта је −600-600, што значи скретање удесно.

Програми за навигацију и роботи по знаку детерминанте два узастопна помераја одређују да ли путања скреће лево или десно, а исти тест користе и програми за рачунарску графику.

Лево или десно

Апликација за навигацију у Нишу прати аутомобил. У метрима, са осом xx ка истоку и осом yy ка северу, аутомобил се прво померио за вектор (120,45)(120, 45), а затим за (200,80)(200, 80). Ако је детерминанта чије су врсте ти помераји позитивна, аутомобил је скренуо лево, ако је негативна, десно, а ако је нула, наставио је право. Куда је скренуо?

Решење

  1. Треба нам D=∣1204520080∣D = \begin{vmatrix} 120 & 45 \\ 200 & 80 \end{vmatrix}. Пре множења извлачимо заједничке чиниоце врста.
  2. Из прве врсте извлачимо 15, а из друге 40: D=15⋅40⋅∣8352∣D = 15 \cdot 40 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}.
  3. ∣8352∣=16−15=1\begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 16 - 15 = 1, па је D=600D = 600.
  4. Провера без особина: 120⋅80−45⋅200=9600−9000=600120 \cdot 80 - 45 \cdot 200 = 9600 - 9000 = 600.
  5. Пошто је D>0D > 0, аутомобил је скренуо лево.

Одговор: Детерминанта је 600, позитивна је, па је аутомобил скренуо лево.

Задатак за вежбу

Решите једначину ∣x2x−43x−2∣=0\begin{vmatrix} x & 2x - 4 \\ 3 & x - 2 \end{vmatrix} = 0.

Прикажи решење

Из друге колоне извучемо x−2x - 2: (x−2)∣x231∣=(x−2)(x−6)=0(x - 2)\begin{vmatrix} x & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (x - 2)(x - 6) = 0, па је x=2x = 2 или x=6x = 6.