Детерминанте – примери 2

Решавање једначина задатих у облику детерминанте.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Решити једначину у облику детерминанте.

$\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&a&a \\ { - a}&a&x \\ { - a}&{ - a}&x \end{array}} \right| = 0$

Пр.2) Решити једначину задату преко детерминанте.

$\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&1 \\ 1&x&x \\ 1&{{x^2}}&x \end{array}} \right| = 0$

Пр.1)

$\begin{aligned}&\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} a&a&a \\ { - a}&a&x \\ { - a}&{ - a}&x \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} && \\ 0&{2}&{x + a} \\ 0&0&{x + a} \end{array}} \right| = a \cdot \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {2a}&{x + a} \\ 0&{x + a} \end{array}} \right| = \\ &= a\left( {x + a} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {2a}&1 \\ 0&1 \end{array}} \right| = a\left( {x + a} \right)\left( {2a - 0} \right) = 2{a^2}\left( {x + a} \right) \\ & \\ &2{a^2}\left( {x + a} \right) = 0 \\ &x + a = 0 \\ &x = - a\end{aligned}$

Пр.2)

$\begin{aligned}&\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1&1 \\ 1&x&x \\ 1&{{x^2}}&x \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&0&0 \\ 1&{x - 1}&{x - 1} \\ 1&{{x^2} - 1}&{x - 1} \end{array}} \right| = 1\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x - 1}&{x - 1} \\ {{x^2} - 1}&{x - 1} \end{array}} \right| = \\ & \\ &= \left( {x - 1} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1 \\ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}&{\left( {x - 1} \right)} \end{array}} \right| = {\left( {x - 1} \right)^2}\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1&1 \\ {\left( {x + 1} \right)}&1 \end{array}} \right| = \\ & \\ &= {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {1 - \left( {x + 1} \right)} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {1 - x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( { - x} \right) \\ & \\ &{\left( {x - 1} \right)^2}\left( { - x} \right) = 0 \\ &\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x - 1 = 0}&{ - x = 0} \\ {x = 1}&{x = 0} \end{array}\end{aligned}$

Овде су једначине задате детерминантом трећег реда, у којој се појављују непозната $x$ и параметар $a$ . Детерминанту не развијајте одмах, него је особинама упростите. Одузмите једну врсту или колону од других да бисте добили нуле, па развијте по врсти или колони са највише нула. Из врсте или колоне извуците заједнички чинилац, као $x - 1$ или $x + a$ . Тако се добија производ, на пример $-x(x - 1)^2 = 0$ , а он је нула кад је бар један чинилац нула.

Пазите на параметар: из $2a^2(x + a) = 0$ следи $x = -a$ само кад је $a \neq 0$ . За $a = 0$ једначину задовољава свако $x$ .

D =

D= 0·(20·1 − 1·50)− 0·(60·1 − 1·60)+ 1·(60·50 − 20·60)= 0 + 0 + 1800 = 1800

Детерминанта D = 1800.

Детерминанта: 1800
Површина троугла: 900 m²

Ово је детерминанта за

x = 60

:

D = 1800

, а површина 900 m². Упишите 240 уместо 60: детерминанта мења знак, а површина остаје иста, зато једначина са апсолутном вредношћу има два решења.

Кад тражите тачку за коју фигура има задату површину или за коју су тачке на истој правој, услов је једначина са детерминантом: тако геодети и урбанисти одређују где поставити теме парцеле или стуб.

Травњак за игралиште

Општина у Панчеву уређује троугаони травњак за игралиште. Два темена су уз стазу, у тачкама $A(0, 0)$ и $B(60, 20)$ , а треће треба да буде на огради, у тачки $C(x, 50)$ ; јединица је метар. Површина троугла је $P = \frac{1}{2}|D|$ , где је $D = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 60 & 20 & 1 \\ x & 50 & 1 \end{vmatrix}$ . Где треба поставити теме $C$ да травњак има 900 m², ако земљиште иде од $x = 0$ до $x = 150$ ?

Решење

Развијамо по првој врсти, у којој су две нуле. Јединица је у првој врсти и трећој колони, па има знак $+$ : $D = \begin{vmatrix} 60 & 20 \\ x & 50 \end{vmatrix}$ .
Из прве врсте извлачимо 20: $D = 20\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ x & 50 \end{vmatrix} = 20(150 - x)$ .
Услов $\frac{1}{2}|D| = 900$ даје $10|150 - x| = 900$ , односно $|150 - x| = 90$ .
Одатле је $150 - x = 90$ или $150 - x = -90$ , па је $x = 60$ или $x = 240$ .
Тачка са $x = 240$ је ван земљишта, па остаје $x = 60$ .

Одговор: Теме $C$ треба поставити у тачку $(60, 50)$ .

Задатак за вежбу

Решите једначину $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x^2 \end{vmatrix} = 0$ .

Прикажи решење

Одузмемо прву врсту од друге и треће: $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x^2 - 1 \end{vmatrix} = (x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)^2(x + 1) = 0$ , па је $x = 1$ или $x = -1$ .