Детерминанте – Сарусово правило

Решавање детерминанте трећег реда Сарусовим правилом.

Сарусово правило је брз начин да се израчуна детерминанта трећег реда. Десно од детерминанте препишите прву и другу колону. Затим саберите три производа на дијагоналама које иду надоле удесно и одузмите три производа на дијагоналама које иду нагоре удесно: $D = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 - c_1b_2a_3 - a_1c_2b_3 - b_1a_2c_3$ .

Правило важи само за детерминанте трећег реда. Детерминанте четвртог и вишег реда развијају се по врсти или колони. Честе грешке су погрешан знак кад се множе негативни бројеви и пропуштен производ: увек их има шест, три са плусом и три са минусом.

D =

311421

D= 3·4·3 + 1·1·2 + 2·1·1− 2·4·2 − 3·1·1 − 1·1·3= 36 + 2 + 2 − 16 − 3 − 3= 18

Детерминанта D = 18.

Збир плавих производа: 40
Збир зелених производа: 22
Детерминанта: 18
НЗД детерминанте и 30: 6

Ово је Анин кључ: производи на плавим дијагоналама дају 40, а на зеленим 22, па је

D = 18

и НЗД(18, 30) = 6. Упишите 3 уместо 4 у средину и добићете Марков кључ:

D = 13

, а НЗД са 30 је 1, па кључ ваља.

Хилова шифра, један од првих алгебарских начина шифровања, детерминантом кључа проверава да ли се порука може дешифровати. Детерминанте трећег реда рачунају се и у геодезији и рачунарској графици, кад год треба проверити да ли се неки линеарни поступак може обрнути.

Кључ за тајну поруку

Ана и Марко шифрују поруке Хиловом шифром: слова се замене бројевима од 0 до 29, по реду у азбуци, порука се подели у групе од по три броја и свака група се помножи шемом бројева, кључем. Пошто азбука има 30 слова, порука се може дешифровати само ако детерминанта кључа није дељива са 2, 3 ни 5. Ана предлаже кључ чија је детерминанта $\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ , а Марко исти кључ са бројем 3 уместо 4 у средини. Чији кључ ваља?

Решење

Десно од Анине детерминанте препишемо прву и другу колону. Производи на дијагоналама надоле удесно: $3 \cdot 4 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 36 + 2 + 2 = 40$ .
Производи на дијагоналама нагоре удесно: $2 \cdot 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 = 16 + 3 + 3 = 22$ , па је $D = 40 - 22 = 18$ .
Број 18 је дељив са 2 и са 3, па Анин кључ не ваља.
За Марков кључ: $3 \cdot 3 \cdot 3 + 2 + 2 - (2 \cdot 3 \cdot 2 + 3 + 3) = 31 - 18 = 13$ .
Број 13 није дељив са 2, 3 ни 5, па Марков кључ ваља.

Одговор: Анин кључ има детерминанту 18 и не ваља, а Марков има детерминанту 13 и може да се користи.

Задатак за вежбу

Израчунајте Сарусовим правилом $\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}$ .

Прикажи решење

Надоле удесно: $2 + 6 + 0 = 8$ . Нагоре удесно: $9 + 0 + (-8) = 1$ . Детерминанта је $8 - 1 = 7$ .