Купа – примери 2

Површина и запремина купе. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3) Угао при врху развијеног омотача купе је ${120^ \circ }$ , а изводница купе је 15cm. Одреди површину и запремину ове купе.

Пр.4) Омотач купе развијен у равни је кружни исечак са централним углом ${90^ \circ }$ . Ако је полупречник купе 16cm израчунати површину и запремину купе.

Пр.3)

376

$\begin{aligned}&l = 2r\pi = \frac{{O\alpha }}{{{{360}^ \circ }}} = \frac{{2s\pi \alpha }}{{{{360}^ \circ }}} \\ &l = \frac{{2s\pi \alpha }}{{{{360}^ \circ }}} \\ &l = \frac{{2 \cdot 15 \cdot \pi {{120}^ \circ }}}{{{{360}^ \circ }}} \\ &l = 10\pi \\ &2r\pi = 10\pi \\ &r = 5cm \\ & \\ &{H^2} = {s^2} - {r^2} \\ &{H^2} = {15^2} - {5^2} \\ &{H^2} = 200 \\ &H = 10\sqrt 2 cm \\ & \\ &P = B + M \\ &P = {r^2}\pi + rs\pi \\ &P = {5^2}\pi + 5 \cdot 15\pi \\ &P = 25\pi + 75\pi \\ &P = 100\pi c{m^2} \\ & \\ &V = \frac{1}{3}BH \\ &V = \frac{1}{3}25\pi \cdot 10\sqrt 2 \\ &V = \frac{{250\sqrt 2 }}{3}\pi c{m^3}\end{aligned}$

Пр.4)

377

$\begin{aligned}&l = 2r\pi \\ &l = 2 \cdot 16\pi \\ &l = 32\pi cm \\ &l = \frac{{O\alpha }}{{{{360}^ \circ }}} \\ &l = \frac{{2s\pi \alpha }}{{{{360}^ \circ }}} \\ &32\pi = \frac{{2s\pi {{90}^ \circ }}}{{{{360}^ \circ }}} \\ &32 = \frac{s}{2} \\ &s = 64cm \\ & \\ &{H^2} = {s^2} - {r^2} \\ &{H^2} = {64^2} - {16^2} \\ &{H^2} = 3840 \\ &H = 16\sqrt {15} cm \\ & \\ &P = B + M \\ &P = {r^2}\pi + rs\pi \\ &P = {16^2}\pi + 16 \cdot 64\pi \\ &P = 256\pi + 1024\pi \\ &P = 1280\pi c{m^2} \\ & \\ &V = \frac{1}{3}BH \\ &V = \frac{1}{3}256\pi \cdot 16\sqrt {15} \\ &V = \frac{{4096\sqrt {15} }}{3}\pi c{m^3}\end{aligned}$

Омотач купе развијен у раван је кружни исечак: полупречник исечка је изводница $s$ , а дужина лука једнака је обиму основе $2r\pi$ . Из $\frac{2s\pi\alpha}{360^\circ} = 2r\pi$ следи веза $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{s}$ , односно $r = \frac{s\alpha}{360^\circ}$ , где је $\alpha$ централни угао исечка.

Кад знате централни угао и изводницу, израчунајте $r$ , затим $H = \sqrt{s^2 - r^2}$ , па $P = r^2\pi + r\pi s$ и $V = \frac{1}{3}r^2\pi H$ . Обрнуто, из $r$ и угла добијате $s$ : за полукруг је $s = 2r$ , а за четвртину круга $s = 4r$ . Површина исечка $\frac{s^2\pi\alpha}{360^\circ}$ једнака је омотачу $r\pi s$ , што је добра провера. Честа грешка је да се полупречник исечка замени полупречником основе.

Полупречник r9 cm

Висина H22,25 cm

Изводница s: 24 cm
Централни угао исечка: 135°
Омотач M: 679 cm²

Укључите мрежу: омотач је кружни исечак полупречника

s

. Почетне мере су мере капе,

s \approx 24

cm и угао исечка

135^\circ

. Што је купа шира у односу на изводницу, угао исечка је већи.

Кројачи, лимари и произвођачи амбалаже секу кружне исечке да би од њих савили купасте облике: капе, левке, абажуре и кровове кула.

Папирна капа за рођендан

Папирна капа има облик омотача купе. Отвор треба да има пречник 18 cm, а бочна дужина капе, од врха до обода, 24 cm. Под којим централним углом треба исећи кружни исечак, колико је капа висока и колико папира треба?

Решење

Развијени омотач је исечак полупречника $s = 24$ cm, чији је лук обим отвора: $2r\pi = 18\pi$ cm.
Из $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{s} = \frac{9}{24}$ следи $\alpha = 135^\circ$ .
Висина: $H = \sqrt{s^2 - r^2} = \sqrt{576 - 81} = \sqrt{495} \approx 22{,}2$ cm.
Папир: $M = r\pi s = 9 \cdot 24\pi = 216\pi \approx 678{,}6$ cm².

Одговор: Исечак треба да има централни угао од $135^\circ$ , капа је висока око 22,2 cm, а папира треба око 679 cm².

Задатак за вежбу

Од кружног исечка полупречника 12 cm и централног угла од $240^\circ$ савијен је омотач купе. Израчунајте површину и запремину купе.

Прикажи решење

$r = \frac{12 \cdot 240^\circ}{360^\circ} = 8$ cm, $H = \sqrt{144 - 64} = 4\sqrt5$ cm. $P = 64\pi + 96\pi = 160\pi \approx 502{,}7$ cm², $V = \frac{1}{3} \cdot 64\pi \cdot 4\sqrt5 = \frac{256\sqrt5\pi}{3} \approx 599{,}5$ cm³.