Призма 1

Површина и запремина призми, формуле. Квадар, коцка, правилна тространа призма, правилна четворострана призма и правилна шестострана призма.

Правилна призма је права призма чија је основа правилан многоугао. Омотач чини nn подударних правоугаоника a×Ha \times H, па је M=naHM = naH, P=2B+MP = 2B + M и V=BHV = BH. Разликује се само основа: код правилне тростране призме B=a234B = \frac{a^2\sqrt 3}{4}, код четворостране B=a2B = a^2, а код шестостране B=3a232B = \frac{3a^2\sqrt 3}{2}, јер се правилан шестоугао дели на шест једнакостраничних троуглова.

Дијагонала бочне стране је a2+H2\sqrt{a^2 + H^2}, а просторна дијагонала правилне четворостране призме D=2a2+H2D = \sqrt{2a^2 + H^2}. Пре рачунања све дужине изразите у истој јединици. Честа грешка је да се за тространу призму узме B=a2B = a^2 или да се код шестостране рачуна један троугао уместо шест.

aH
2 dm
12 dm
Основа B
10,39 dm²
Омотач M
1,44 m²
Запремина V
0,125 m³
Мрежа има шест правоугаоника a×Ha \times H и два правилна шестоугла. Подесите H=30H = 30 dm: то је стуб из примера, са a=2a = 2 dm, омотачем од 3,6 m² и запремином од око 0,312 m³.

Правилне шестостране и тростране призме срећу се као бетонски стубови, оловке, кутије за поклоне и делови намештаја; запремина говори колико материјала треба, а омотач колико боје или фолије.

Шестоугаони стуб

Бетонски стуб на тераси има облик правилне шестостране призме са основном ивицом 20 cm и висином 3 m. Колико кубних метара бетона треба за стуб и колико квадратних метара бочне површине треба офарбати?

Решење

  1. Све рачунамо у метрима: a=0,2a = 0{,}2 m и H=3H = 3 m.
  2. Основа: B=3a232=3⋅0,04⋅32=0,063≈0,1039B = \frac{3a^2\sqrt 3}{2} = \frac{3 \cdot 0{,}04 \cdot \sqrt 3}{2} = 0{,}06\sqrt 3 \approx 0{,}1039 m².
  3. Запремина: V=BH≈0,1039⋅3≈0,312V = BH \approx 0{,}1039 \cdot 3 \approx 0{,}312 m³.
  4. Бочна површина: M=6aH=6⋅0,2⋅3=3,6M = 6aH = 6 \cdot 0{,}2 \cdot 3 = 3{,}6 m².

Одговор: За стуб треба око 0,312 m³ бетона, а офарбати треба 3,6 m² бочне површине.

Задатак за вежбу

Правилна тространа призма има основну ивицу 6 cm и висину 10 cm. Израчунајте њену површину и запремину.

Прикажи решење

B=3634=93B = \frac{36\sqrt 3}{4} = 9\sqrt 3 cm² и M=3⋅6⋅10=180M = 3 \cdot 6 \cdot 10 = 180 cm², па је P=183+180≈211,18P = 18\sqrt 3 + 180 \approx 211{,}18 cm². Запремина је V=93⋅10=903≈155,88V = 9\sqrt 3 \cdot 10 = 90\sqrt 3 \approx 155{,}88 cm³.